Droites

  7. Représentation d’une droite.

Une droite D est définie par deux points A et B. Soit par exemple A(1 ;2 ;3 ;-1) et

B(2 ;4 ;1 ;-2). Elle est représentée par  ses 3 projections :

d=(ab) projection  de D sur O,  (plan horizontal)  parallèlement à O, 

d’=(a’b’) projection de  D sur O,  (plan frontal) parallèlement à O, 

d’’=(a’’b’’) projection de D sur o,   (plan temporel)  parallèlement à O,  . Il s’agit aussi de projections orthogonales car les plans donnant la direction de projection sont orthogonaux au plan sur lequel on projette.

 

 

Le point M (m,m’,m’’) est un point variable de D.

En perspective on a la figure suivante :

Certaines droites ont une de leurs projections  ( ou plusieurs) réduite  à un point.

Par exemple la droite D= (AB) avec  A(1 ;2 ;3 ;1) B(1 ;2 ;2 ;1). Elle est de direction  

 

8. Réciproque.

On se donne trois droites non dégénérées dans les  3 plans rabattus : d ; d’ ; d’’ et non parallèles aux axes. Représentent –elles une droite D ? Oui, pour la déterminer il suffit de prendre  2 points A(a, ,a’,a ‘’)  a sur d , a’ sur d’ , a’’ sur d’’ et B(b , b’ , b’’) b sur d , b’ sur d’, b’’ sur d’’ . Alors la droite cherchée est D=(AB).

Prenons un exemple :

Soit d d’équation x=-y+4 ; d’ d’équation z=1/2y+1 ; d’’ d’équation t=-x+3.

Alors on peut prendre A(3 ; 1 ; 1.5 ;0) B(2 ;2 ;2 ; 1) ainsi vec(AB) : (-1 ; 1 ; 0.5 ; 1)

D a pour équations   paramétriques :

x=-3-w ;y=1+w ; z=3/2+1/2*w ; t=w.

On voit D en perspective avec ses trois projections d, d’ ,d’’.

 

 

9. Distance de 2 points

Soit A(1 ;2 ;2 ;3) B(2 ;4 ;4 ;1)   :(1 ;2 ;2 ;-2)

 

ab²=1²+2² ; bH’=b’H=2

On reporte bH’=2  de sorte que l’angle abH soit droit. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle abH : aH’²=ab²+bH’²=1²+2²+2²

On trace un nouveau triangle rectangle aH’K  tel que H’K’=2. En appliquant encore le théorème de ¨Pythagore on obtient :

aK’²=1²+2²+2²+2²=13.

La distance AB se retrouve en aK

 

10.    Intersection de  2 droites

2 droites D1 et D2 se coupent si elles ont un point commun M(m ;m’ ;m’’)..

m est à  l’intersection de d1 avec d2 ; m’  à l’intersection de d1’ avec d2’ ; m’’ à l’intersection de d1’’ avec d2’’. On doit avoir [mm’] perpendiculaire à (Oy) et [mm’’] perpendiculaire à (Ox). Cette double condition suffit pour que l’intersection existe. Ce n’est pas le cas en général.

Exemple1 :

D1 est définie par A1(1 ;0 ;2 ;-1)  B1(0 ;1 ;0 ;1)

D2 est définie par A2(3 ;0 ;5 ;-4)  B2(4 ;1 ;6 ;-5).

 

On a :   :(-1 ;1 ;-2 ;2)      :(1 ; 1 ; 1 ; -1)

L’intersection de d1 avec d2 est m(2 ;1) dans  O,x,y

L’intersection de d’1 avec d’2 est m’(-1 ;4) dans  O,y,z

L’intersection de d’’1 avec d’’2 est m’’(2 ;-3) dans  O,y,l

(m, m’,m )  définit bien un point M (2 ;-1 ;4 ;-3).

Vérifions cette intersection par le calcul :

D1  a pour équations paramétriques :

X=1-w

Y=w

Z=2-2w

T=-1+2w

D2 a pour équations paramétriques :

X=3+u

Y=u

Z=5+u

T=-4-u

On résout le système de ces  8 équations à 10 inconnues. On obtient w=l=-1 et  X=2 ;

 Y=-1 ; Z=4 ; T=-3

En perspective on a la représentation suivante :

 

Exemple 2.

Les droites  D1 et D2 sont non concourantes. Elles ne sont pas coplanaires.

A1(1 ; 1 ; 2 ;2)  B1 (2 ; 2 ; 3 ; 1)   : (1 ; 1 ; 1 ; -1)

A2(1 ; 3 ; 1 ; 1)  B2(2 ; 2 ; 2 ; 2)    : (1 ;-1 ; 1 ; 1)

Equations paramétrique de  (A1B1)

X=1+w

Y=1+w

Z=2+w

T=2-w

Equations paramétrique de  (A2B2)

X=1+u

Y=3-u

Z=1+u

T=1+u

Si on cherche à résoudre le système :

.1+w=1+u

1+w=3-u

2+w=1+u

2-w=1+u

On ne trouvera pas de solution.

Sur la représentation en géométrie descriptive on ne trouve pas de point d’intersection entre les deux droites car il n’y a pas de point situé sur les  2 droites D1 (d1 ;d’1 ;d’’1)  et D2(d2, ;  d’2, ; d’’2)

 

[mm’] n’est pas perpendiculaire à la droite (oy) , donc (m ; m’ ; m’’) ne définit pas un point de R4, donc on voit que  D1 et  D2 ne sont pas concourantes.

On peut aussi voir que les 2 droites ne sont pas concourantes sur le dessin en perspective ci-dessous.

 

.

11 Intersection d’une droite avec notre espace.

Ou comment une droite apparaît au centre d’un cube sans couper ses faces.

Soit le cube C de sommets  O(0 ;0 ;0 ;0) A1(2 ;0 ;0 ;0) A2(2 ;2 ;0 ;0)  A3(0 ;2 ;0 ;0) A4(0 ;0 ;2 ;0) A5(2 ;0 ;2 ;0) A6(2 ;2 ;2 ;0) A7(0 ;2 ;0 ;2).

Son centre est A(1 ;1 ;1 ;0) Soit la droite D(d, ;d’ ;d’’) d’équations paramétriques :

X=1+w

Y=1+w

Z=1+w

T=w

Elle coupe notre espace, c'est-à-dire l’hyperplan H d’équation t=0  aux points tels que t=0 donc w=0, donc en un seul point de coordonnées  (1 ;1 ;1 ;0). C’est le point A.

Donc D coupe le cube  C en un seul point : le point A.

Regardons ceci en géométrie descriptive.

interection droite hyperplan

 

Pour interpréter  l’intersection de D avec notre espace , c’esr à dire l’hyperplan H d’équation t=0, on cherche le point de D  pour lequel t=0.

On prend donc l’intersection de d’’ avec  la droit (Ox) . On obtient a’’(1, ;0 ;0 ;0). On trace la ligne de rappel  horizontale passant par a’’ et on cherche son intersection avec d. On obtient a(1 ;1 ;0 ;0). Par a on trace la ligne de rappel verticale, puis on cherche son intersection avec d’. On obtient a’(0 ;1 ;1 ;0). L’intersection de D avec H est  donc le ,point A(1 ;1 ;1 ;0).

Donc D coupe le cube en son centre sans avoir percé ses faces !!!

On peut aussi voir cette propriété sur l’animation suivante.

 

 

On se rend compte que la droite ne coupe pas les faces du cube, car lorsqu’il tourne les intersections apparentes ne restent pas fixes. Seul le centre du cube, en noir reste fixe sur la droite.  Imaginer pour comprendre  la situation correspondante dans notre espace. Une droite D perpendiculaire   à un carré en son centre O. Si on représente la situation en perspective, D semble couper le carré, mais en fait ce n’est pas le cas.


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