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Fibrations

En gros, un espace fibré E  est une collection de fibres semblables entre elles. Autrement dit pour avoir un tel espace, on se donne une application f de E dans C que l'on appelle projection. Pour y dans C, l'ensemble des x de E ayant pour image y s'appelle fibre au dessus de y. Pour avoir des fibres semblables, mathématiquement on dit quelles sont difféomorphes. Dans la suite de cette page, l'ensemble E est une partie de l'hypershère S3 : S3 est l'ensemble des couples de complexes (z,w) tels que |z|²+|w|²=1. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble C des nombres complexes. Par exemple f(z,w)=z3-w2 ou Arg(w2/z3).

1 Fibration de Siefert

On va décomposer l'hypersphère S3 en une famille de courbes fermées disjointes, à la manière des fils de fer d'un pneu à carcasse radiale. S3 est est l'ensemble des quaternions de norme1. C'est aussi l'ensemble des quadruplets (x1,x2,x3,x4) de R4 tels que x1²+x2²+x3²+x4²=1, c'est encore l'ensemble des couples de complexes (z,w) tels que |z|²+|w|²=1. Choisisons deux entiers m et n premiers entre eux, par exemple m=2 , n=3. Dans ce cas les fibres sont des noeuds de trèfle. Pour un quadruplet fixé dans S3, la fibre correspondante est la courbe fermée d'équations paramétriques :
X=x1*cos(m*t)-x2*sin(m-t)
Y=x1*sin(m*t)+x2*cos(m*t)
Z=x3*cos(n*t)-x4*sin'n*t)
T=x3*sin(n*t)+x4*cos(n*t)
avec le paramètre t qui varie de 0 à 1.
Si on écrit S3 comme CxC produit cartésien de l'ensemble des nombres complexes par lui-même, S3 est l'ensemble des couples  (z1,z2) de la forme : z1=x1+ix2 , z2=x3+ix4. La fibration correspondante s'écrit de manière plus concise (z1*exp(i+m*t) , z2*exp(i*n*t) .
S3 est paramétrée par trois réels u,v,w de la façon suivante
x1=cos(u)*sin(v)*sin(w)
x2=sin(u)*sin(v)*sin(w)
x3=cos(v)*sin(w)
x4=cos(w)
On a aussi la paramétrisation plus simple : z1=cos(u)*exp(iv) ; z2=sin(u)*exp(iw).
  Lorsque z1 et z2 sont fixes, et t variant de 0 à 2pi, on obtient une fibre qui est un noeud de trèfle. Lorsque z1 varie sur un cercle, la fibre décrit un tore de S3.
Dans le dessin suivant la projection est conique, le tore jaune est obtenu pour  u=1 et w=0. Le tore rouge est bobtenu pour u=2 et w=1, le tore vert pour u=3 et w=0,5 , le tore cyan pour u=10 et w= 1,5 , et enfin le tore blanc pour u=0,1 et w=0,7.

fibration de siefert
Voici la fibration obtenue pour m=3 et n=5. La fibre est un noeud plus compliqué.
fibration3_5
noeud siefert
surface de siefert

Même fibration en dessinant des fibres en forme de pelure.
fibration de Siefert

En géométrie et en cartographie, on utilise la projection stéréographique pour représenter une sphère sur un plan. On projette à partir du pôle nord sur le plan tangent au pôle sud.


. Dans cette projection, un cercle ne passant pas par le pôle nord est transformé en un cercle dans le plan .

projection stéréograpique

L' équation de la projection stéréographique de S3 vers R3 est trés simple : stéréo(x,y,z,t)=(x,y,z)/(1-t).
En utilisant la projection stéréographique on obtient le dessin suivant .
fibration siefert avec projection stéréographique
On a tracé en rouge épais une fibre. On voit bien que c'est un noeud de trèfle.


2 Fibration de Hopf.
Dans la fibration précédente avec m=n=1, nous choisissons  z1 et z2  avec z2=az1, ce qui change l'écriture de la paramétrisation.

Pour un complexe    donné (t2 dans R+ , t3 dans [0 2pi]) le plan  d’équation Z2=aZ1 coupe l’hypersphère S3 en 2 grands cercles. Pour obtenir les équations de ces cercles il suffit de résoudre le système :    avec les écritures  et  on obtient :    et finalement 

   et  . Comme  q=z1+jz2 on obtient  les coordonnées  paramétriques d’un des cercles d’intersection pour  t2 dans R+  et  t3 dans [0, 2pi] fixés :

A t2 fixé,  lorsque t1 varie de 0 à 2pi,  z1 décrit un cerccle. Pour t2 fixe le couple (z1,z2) est un cercle de S3. En faisant varier t3 de 0 à 2pi, ce cercle décrit un tore de S3. t2 donne le rayon du cercle de départ. En faisant varier ce paramètre t2, on obtient différents tores qui décrivent S3.

 

Avec la projection habituelle on a le dessin  de S3 paramétré par les cercles de Hopf  :

tores de Hopf


Avec la projection stéréographique, la fibration de Hopf de l' hypersphère donne le dessin suivant :

fibration de Hopf

On n'a dessiné que 4 tores, mais il y en a une infinité.
3 Fibration de Huck
Déplaçons nous le long d'une hélice traçée sur S3, et à chaque point rencontré traçons sa fibre correspondante. Cette fibre est un cercle tracé sur S3, et ainsi nous allons avoir une autre idée de S3.
Voici une hélice tracée tracée sur S3.
hélice sur l'hypersphère
Et la fibration de Huck correspondante. La projection est conique.
fibration de huck
Au début, près du pôle Nord, les fibres sont jaunes, puis en se déplaçant un peu vers le sud, elles sont rouges. En continuant le trajet elles sont bleues, puis vertes, puis jaunes et enfin en pointillé rouges.
En utilisant la projection stéréographique, pour un même chemin, au lieu d'avoir des cercles qui grandissent, ils rapetissent. En effet  près du pôle, la projection stéréographique grandir les longueurs.
projection stéréographique de la fibration

Fibration avec pour base une sorte d'hélice.
spirale de siefert
4 Fibration de Hopf obtenue avec la fonction h.
Nous pouvons définir la fibration de hopf à partir de la fonction h suivante définie sur S3 à valeurs dans l'ensemble C des nombres complexes :
h(z,w)=w/z. w et z sont donc des complexes tels que |z|²+|w|²=1. La fibre associé à un complexe B est l'ensemble des couples (z,w) de S3 tels que h(z,w)=B, c'est à dire w/z=B.
En posant z=s*exp(i*theta), s étant le module de z et theta son argument on a w=z*s*exp(i*theta). s vérifie s²+s²*|B|=1. Donc on a s²=1/(1+|B|²), soit s=sqrt(1/(1+|B|²).
La fibre associée à B est donc l'ensemble des points de S3  de la forme (s*exp(i*theta) , s*B* exp(i*theta) ) avec s=sqrt(1/(1+|B|²) et theta variant de -pi à pi. La fibre correspondant à B donné dans C est donc un cercle.
Si B varie sur un cercle centré en l'origine O dans C, la fibre correspondante décrit un tore dans S3 . Ci dessous un exemple de cette correspondance.
tore
Tore associé au cercle x²+y²=1
cercle
Il est trés facile de faire changer l'ensemble sur lequel varie B. Par exemple faisons varier B sur une lemniscate.
lemniscate
Surface associée à la lemiscate ci-contre : 
lemniscate
lemniscate : x=cos(u)/(1+sin(u)*sin(u)) ; y=sin(u)*cos(u)/(1+sin(u)*sin(u))
Courbe associée à une spirale d'Archimède
spirale de Hopf
Surface associée à une spirale
spirale
Spirale : x=cos(u)*u/2 ; y=sin(u)*u/2

Les épicycloïdes et les hypocycloïdes sont obtenues par des cercles tournant sur une base circulaire. Leurs surfaces associées vont donc tourner autour du tore associé à la se sur laquelle ils tournent.
épicycloïde de Hopf
La surface associée au cercle décentré semble être une cyclide
épicycloïde
Cercle qui roule à l'intérieur d'un autre cercle.
hypocycloïde de Hopf
La surface associée au cercle décentré semble être une cyclide
hypocycloïde
Cerque qui roule à l'extérieur d'un autrte cercle.
Fibres associées à une courbe de Lissajou : x=sin(t) ; y=sin(2*t).
collier de hopf
Quand le point rouge décrit la courbe de Lissajou, sa fibre balaye la surface correspondante de S3.
lissajou hopf
Surface de S3 correspondante à la courbe de Lisssajou verte.

5 Fibration de Siefert obtenue avec la fonction j
On peut définir la fibration de Siefert en utilisant la fonction j de S3 dans C définie par j(z,w)=w²/z3.
Alors pour tout nombre complexe B, la fibre associée est l'ensemble des complexes (z,w) de S3 tels que w²/z3=B, ce qui s'écrit : w²=B*z3 ou encore w=sqrt(B*z3 ).
On pose z=s*exp(i*2*theta), s étant le module de z et 2*theta son argument on a alors w=sqrt(B)*s1.5*exp(i*3*theta).
Comme (z,w) est éjément de l'hypersphère S3,  on a [z|²+|w|²=1 . Donc s doit être solution de l'équation du troisième degré : s²+|B|*s3-1=0, qui a une seule solution s réelle.
Dans la programmation, on résout cette équation par la méthode de Newton.
La fibre associée à B est l'ensemble (s*exp(i*2*theta),s1.5*sqrt(B)*exp(i*3*theta)). C'est un noeud de trèfle.
Soit A(1,0), le point unité sur l'axe des abscisses. Lorsque B décrit le segment [OA], sa fibre décrit une surface de Siefert dont le bord est le noeud de trèfle.
surface de Siefert
Surface de Siefert

Fibres associées à une spirale
Téléchargez le programme Povray correspondant.
Si on trace une petite croix au point A, les fibres correspondantes vont être des noeuds de trèfle dans s3, disposés de façon analogue.
Les fibres associées à un cercle de centre O forment un tore. On reconnait, en jaune, une fibre : c'est un noeud de trèfle.
fibrations associées à une croix
Fibres associées à une petite croix.

fibration de Siefert
Tore obtenu par des fibres associée à un cercle
Ci-dessous la surface verte est formée de fibres associées à des cercles.
A coté les fibres sont associées à la courbe de lissajou, tracée en jaune.
fibration de Siefert
siefert lissajou
On peut aussi associer à tout angle theta entre 0 et 6.28 l'ensemble des complexes (z,w) de CxC tels que l'argument de w2/z3 est theta. La fibre correspondant à theta est une surface dont le bord est le noeud de trèfle.
Quand theta varie cette surface se tord dans l'hypersphère S3.
création de la fibre arg(w2/z3)=0
Création de la fibre Arg(w2/z3)=0.
fibrbre qui se tord
Fibre dont l'argument correspondant décrit [0;6.28].

6 Autres fibrations
On peut aussi utiliser la fonction f(z,w)=20z3/(20z3-49z2). La fibre f-1(B), lorsque B décrit un cercle, parcourt la surface ci-dessous .
foction modulaire.
Téléchargez ici le programme povray.
En utilisant la fonction sinus complexe on peut dessiner le slip d'Eisenstein :
slip d'eisenstein
Téléchargez ici le programme povray.
7 Fibration de Milnor
Le mathématicien américain a reçu la médaille Fields en 1962, puis le prix Abel pour l'ensemble de son oeuvre en 2011.
On lui doit la fibration suivante qui porte son nom.
Soit par exemple la fonction f de CxC=R4 dans C définie par : f(z,w)=z²-w3.  Alors f(z,w)/|z2-w3| arrive sur le cercle trigonémétrique de C. Pour tout point exp(i*theta) du cercle trigonométrique l'ensemble des points (z,w) de CxC ayant exp(i*theta) pour image par f(z,w)/|z2-w3| est la fibre de Milnor correspondante. Quand theta varie de 0 à 2*pi, cette fibre tourne autour d'une courbe fixe K (en bleu sur l'animation) qui est l'intersection de f-1(0) et de l'hypersphère S3.
fibration de Milnor
Expliquons la méthode pour réaliser ce dessin.
On écrit z=a+ib, w=c+id. On développe (a+ib)²-(c+id)3=exp(i*theta) (on laisse tomber le dénominateur inutile en quelque sorte).  On obtient :
a²-b²-c3+3cd²+i*(2ab-3c²d+d3)=cos(theta)+i*sin(theta).
On fait l'intersection de la surface définie par cette équation avec l'hypersphère S3 et on projette cette intersection dans R3 par la projection stéréographique. Ceci se fait en une seule opération en utilisant les écritures suivantes :
a=2x/(1+x²+y²+z²) ; b=2y/(1+x²+y²+z²) ; c=2z/(1+x²+y²+z²) ; d=(-1+x²+y²+z²)/(1+x²+y²+z²) .
On obtient alors, après simplification, l'équation implicite de la fibre :
cos(theta)*(-2*x*x*(-1+x*x+y*y+z*z)+2*y*y*(-1+x*x+y*y+z*z)+8*x*(-1+x*x+y*y+z*z)+4*y*z*z-y*pow(-1+x*x+y*y+z*z,2))
-sin(theta)*(4*x*x*z-4*y*y*z+4*x*y*(-1+x*x+y*y+z*z)-4*x*z*z+x*pow(-1+x*x+y*y+z*z,2)-4*y*z*(-1+x*x+y*y+z*z))=0.

Voici deus autre fibrations .
z2-w2
fonction z²-w²
z-w3
fonction z-w3.

Terminons avec les fibrations de Milnor associée à deux fonctions.

z3-w3
f(z,w)=z3-w3
z²w-w²z
f(z,w)=z²w-zw²

Télécharger le fichier povray correspondant.

8 Dessiner dans S3  avec la fibation  de Siefert.

On se donne une courbe de R3 par ses trois équations X, Y ,Z . On utilise l'inverse de la projection stéréographique pour avoir ses 4 équations dans  S3 :
x1=2*X/(1+d); x2=2*y/(1+d); x3=2*Z/(1+d); X4=(d-1)/(1+d) avec d=X²+Y²+Z².
Ensuite pour chaque point M(x1,x2,x3,x4) de S3 obtenu par l'inverse de la projection stéréographique d'un point de la courbe initiale.on trace le noeud correspondant avec la fibration de Siefert. Si m=n=1 le noeud est un cercle. Rappelons l'équation de cette fibre pour  M(x1,x2,x3,x4) donné. Elle a pour équation :
X1=x1*cos(m*t)-x2*sin(m*t); Y1=x1*sin(m*t)+x2*cos(m*t); Z1=x3*cos(n*t)-x4*sin(n*t); T1=x3*sin(n*t)+x4*cos(m*t); quant t varie de o à 2*pi, le poit N(X1,Y1,Z1,T1) décrit la fibre correspondante.
On trace dans R3 la projection stéréographique de cette fibre . Les formules correspondantes sont :
x=X1/(1-T1); y=Y1/(1-T1); z=Z1/(1-T1); Dans le cas où la fibre est un cercle, sa projection est un cercle.
Voici les dessins obtenus pour quelques courbes usuelles.
astroide
Astroide
borromée
Anneaux de Boirromée

hélice
Hélice sphérique
pappus
Pappus
Sinus sphérique
Sinus sphérique
clélie
Clélie
entrelacs
Entrelacs
noeud
Noeud torique
trefle
Noeud de trèfle
surf
Hélice cylindrique

9 Dessiner sur S3 avec la fibration de Hopf
On fait d'une façon similaire un dessin d'une courbe plane avec la fibration de Hopf.
Regardez le résultat dans cette vidéo :https://www.youtube.com/watch?v=EZL_L0wHkFs

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