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Triangles

« Si les triangles faisaient un Dieu, ils lui donneraient trois côtés »      Michel Serres

 Théorème de Pythagore

Bien que le triangle soit la plus simple des figures géométriques, il y a des milliers de théorèmes ou propriétés qui lui sont attachés. Le plus célèbre de tous les théorèmes, celui  de Pythagore, caractérise  le triangle rectangle. On  en possède des centaines  de démonstrations. En voici une des plus simples.

théorème de Pythagore

L’aire du carré jaune est c². Elle s’obtient aussi en enlevant au grand carré d’aire (a+b)² les quatre triangles rectangles  de couleur cyan dont l’aire totale est 2ab. On a donc :

c²=(a+b)²-2ab=a²+b²+2ab-2ab=a²+b². Ce qui s’exprime en français par : dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. Les élèves apprennent cette règle en classe de quatrième.

Ce théorème a de nombreuses généralisations, et se retrouve dans les espaces très généraux comme les espaces de Hilbert et en analyse de Fourier.

De grands penseurs ont laissé leur nom au triangle : Pascal, Leibnitz, Maxwell, Sierpinsky.

 

Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est très connu.

Ligne n\col. p

 

 

 

 

 

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Chaque nombre s’obtient en ajoutant  à celui qui est dans sa colonne à la case au dessus au nombre situé juste avant ce dernier. Ce qui s’écrit C(n,p)=C(n-1,p)+C(n-1,p-1) (C veut dire coefficient). Ces coefficients  permettent de trouver le développement du binôme de Newton (a+b)n.

Par exemple la ligne 3 nous donne le développement de (a+b)3=a3+3a²b+3ab²+b3. On écrit les  monômes apbq en commençant par p=3 et q=0  soit a3b0=a3 et on diminue p de 1 et on augmente q de 1. On obtient a²b, et on poursuit jusqu’a obtenir b3. Devant chaque monôme obtenu on écrit le coefficient correspondant trouvé à la ligne 3.

Triangle de Sierpinsky  obtenu à partir du triangle de Pascal. Quand nous constituons le triangle de Pascal, n’écrivons que les coefficients impairs. Nous obtenons une version du triangle de Sierpinsky.

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35

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C’est une figure fractale dont nous voyons ici la deuxième itération.

 sierpinsky

 

Triangle de Maxwell,

Maxwell est  un physicien et mathématicien écossais. Il est surtout connu pour ses équations qui unifient  l’électricité et le magnétisme. On lui doit le triangle de Maxwell  qui  montre que les couleurs  peuvent  être définies par leur pourcentage de rouge, vert, bleu. En  informatique on indique la couleur d’un point par ses  3 composantes : par exemple color rvb <0.2,0.3,0.7> aura 20% de rouge, 30% de vert et  70% de bleu.  En géométrie on sait repérer un point dans un triangle ABC par ses coordonnées barycentriques. Les coordonnées barycentrique s d’un point M est la donnée d’un triplet de nombres (a,b,c) qui nous fournit  la position de M par rapport aux  trois points A,B,C. Par exemple  a=1, b=0, c=0 met  M en A, a=b=c=1/3  place M au centre de gravité du triangle.

Si nous affectons à chaque point du triangle ABC de coordonnées barycentriques  (a,b,c) l a couleur  rvb(a,b,c) nous  obtenons  le  triangle de Maxwell.

triangle de Maxwell

Comme nous pouvons ajouter aux 3 couleurs fondamentales un nombre pour la transparence(ou la luminosité), on peut faire un dessin avec les quatre composantes dans un carré.

carré de Maxwell 

 

Triangles d’or

Il y a deux triangles d’or.

L’un est isocèle avec à la base deux angles de 72° et au sommet un angle de 36°. L’autre est aussi isocèle, mais ses angles  à la base font 36°, son angle au sommet est donc de 180°-2*36° soit 108°. Le rapport des côtés inégaux d’un triangle d’or est le nombre d’or : phi soit 1,618 environ.

Si on partage un des angles de 72°  du triangle d’or de la première sorte par sa bissectrice, on obtient les  triangles  d’or des deux types. Ce découpage peut se poursuivre à l’envie. On peut ainsi tracer une spirale.

triangle or

spirale et triangle or

 

Rectangles

« Le carré est un triangle qui a réussi, ou une circonférence qui a mal tourné.»    Pierre Dac

Le format d’un rectangle est caractérisé par le rapport entre sa longueur L et sa largeur l.  Le format commercial est racine de 2 soit environ 1,414. Il est tel que si on coupe un tel rectangle en deux parties égales  dans le sens de la longueur, les deux rectangles obtenus ont encore ce format : L/l=1,414. Ainsi en partant d’une feuille A3 on a deux feuilles de format A4. Pour ces deux feuilles L/l=1,414. Le rectangle ci-dessous, ABCD,  a le format commercial. Coupé en deux, on a deux rectangles au format commercial. Il a la propriété : !a grande diagonale  AC est perpendiculaire à la petite DE.

Deux feuilles de format A3 mises côte à côte font une feuille de format A2 …

Un rectangle d’or a pour format le nombre d’or phi soit environ 1,618. Si on découpe un carré à l’intérieur, à partir de sa largeur, le rectangle restant  a encore le format égal au nombre d’or. C’est cette proportion,  considérée comme particulièrement  harmonieuse, qui est très utilisée en peinture.

 

rectangle d'or rectangle or et spirale

Le rectangle ABCD est d’or. On découpe le carré ABFE. Le rectangle restant CDEF est encore d’or, donc on peut réitérer le processus précédent. On obtient une suite de carrés emboités qui permet de tracer une spirale. On l’appelle spirale d’or.

La quadrature du cercle

« Prenez un cercle, caressez-le, il deviendra vicieux ! «                 Eugène Ionesco.

La quadrature du cercle était un des trois grands problèmes de l’antiquité. Les deus autres étaient : la duplication du cube et la trisection de l’angle.  Il s’agissait de tracer, à la règle et au compas, un carré de même aire qu’un cercle donné. Pour un cercle de rayon un, sa surface est pi. Il faut donc tracer un carré de coté racine de pi, ce qui est impossible à la règle et au compas car c’est un nombre transcendant. Ce problème impossible à résoudre a donné naissance à l’expression : « chercher la quadrature du cercle »,  ce qui signifie tenter l’impossible.

disque et carré

La quadrature du cercle

lemniscate

Lemniscate et carré d’aire 1

 

Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on vient de démontrer qu’il est théoriquement possible de découper un disque en un très grand nombre de morceaux, et de les réarranger pour obtenir un carré. Cette opération est impossible à réaliser physiquement.

Ce qui est impossible à faire pour le disque est évident pour une lemniscate car sa surface est égale à un.

 

Pentagones

Les triangles d’or sont des constituants du pentagone régulier convexe et du pentagone régulier croisé. Le côté du pentagonecroisé s'obtient en multipliant le côté du pentagone convexe par le nombre d'or : AC=1.618*AB.


pentagone
Pentagones réguliers (convexe + croisé)
pentagone décagone
Décagones avec des polygones semblables à des flèches


Des hypocycloïdes ressemblant à des pentagones.

hypocycloide

hypocycloide

On les obtient en faisant rouler un cercle sur un autre cercle. Le rapport de leurs rayons conditionne la forme du résultat.

On ne peut pas paver le plan avec des pentagones réguliers, mais le mathématicien Roger Penrose a découvert en 1970 un pavage semi-régulier du plan.

penrose

On trouve dans certaines cathédrales de très belles rosaces à cinq pétales. C’est le cas pour Notre Dame de Paris.

rose à 5 pétales
Construction de la rose à 5 pétales

rosace à 5 pétales
Rosace à 5 pétales, Notre Dame, Paris.

 

 

Hexagones

Seigneur ! Préservez-moi, préservez ceux que j'aime,

Frères, parents, amis, et mes ennemis même

Dans le mal triomphants,

De  jamais voir, Seigneur, l'été sans fleurs vermeilles,

La cage sans oiseaux, la ruche sans abeilles,

La maison sans enfants.                                                                                Victor Hugo

 


L'hexagone est si facile à construire à la règle et au compas que les enfants savent le dessiner dés l'école primaire. Les rosaces à 6 pétales sont trés courantes dans les églises et cathédrales.

rosace à 6 pétales

L’hexagone pave le plan. Il est naturellement réalisé par l’abeille et d’autres insectes. Qui n’est pas  émerveillé devant les réalisations de notre amie, l'abeille. Pour obtenir un pot de 1kg de miel, 17000 abeilles doivent visiter un millions de fleurs et parcourir 40000 km. Pour produire un kilo de cire les abeilles consomment 8kg de miel. Elles construisent des alvéoles en cire très fine, environ 0,1 mm, pour loger leurs larves et stocker leurs provisions. Vu le labeur de romain nécessaire à leur construction, on comprend leur prodigieuse structure. Non seulement l'hexagone est la meilleure façon de paver le plan en minimisant le périmètre du motif du pavage, mais le fond à une forme de dodécaèdre rhombique. Ce fond est formé de  trois losanges, appelés rhombes, qui sont adossés à trois autres cellules. Cette forme particulière nécessite un minimum de matière tout en lovant les larves dans une structure proche de la sphère, chaque larve voisinant  avec neuf autres larves. La construction des rayons de cire est une entreprise collective, réalisée par les jeunes abeilles. Les abeilles se suspendent les unes aux autres, formant une chaine accrochée au  haut d'un cadre. Avec ses pattes, l'abeille récupère la cire, puis la porte à sa bouche. Elle malaxe la cire avec ses mandibules, puis la passe à sa voisine, et ainsi de suite jusqu'à la bâtisseuse qui fixe l'écaille de cire au rayon en construction. La cire est très précieuse pour les abeilles et elles utilisent le minimum de cire pour faire un rayon : 40 grammes de cire suffisent pour fabriquer un rayon de 20cm sur 40 cm. Ce rayon pourra contenir 2 kg de miel. Quand les abeilles fabriquent de la cire, on sent alors une odeur suave aux alentours de la ruche

rayon de cire 

 Rayon de cire

alvéoles 3 alvéoles dessinées

dodécaèdre rhombique 

Un dodécaèdre rhombique avec en rouge le fond d'une alvéole


Coniques

C’est le mathématicien  grec Apollonius de Pègre (-262 ;-190) qui a fait l’étude des sections du cône de révolution. Suivant la position du plan de section on obtient une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Comme il s’agit de section d’un cône, il les a nommées coniques.
 
éllipse
Cône coupé selon une ellipse
cône coupé selon parabole
Cône coupé selon une parabole
    

Il a fallu attendre le dix neuvième siècle pour que le mathématicien Germinal Pierre Dandelin établisse le théorème illustré ci-dessous : soit un plan (ici en rose) coupant le cône selon une ellipse .Les sphères tangentes au cône et au plan sécant rose, le touchent aux foyers de l’ellipse. C’est simple, il fallait y penser et le démontrer !
cône coupé selon hyperbole
Cône coupé selon une hyperbole
théorème de dandelin
Théorème de Dandelin

 
   
     
             
Les coniques sont les trajectoires décrites par les objets célestes dans l’univers, les satellites, et aussi les projectiles dans notre espace terrestre. Elles font l’objet de nombreux problèmes mathématiques car leurs propriétés sont très nombreuses. L’ellipse possède la propriété suivante :’un rayon lumineux, ou une onde sonore, qui part d’un foyer et qui se réfléchit, passe par le deuxième foyer. Dans certaines abbayes, comme à La Chaise Dieu, une pièce avec une voute  elliptique servait de confessionnal. Une personne, placée au premier foyer, pouvait être écoutée par son confesseur situé au deuxième foyer, sans que les autres personnes présentes n’entendent leur conversation.
ellipse+foyers
Ellipse avec ses deux foyers
ellipsoide
Ellipsoïde

 
La parabole possède une propriété semblable, utilisée pour les phares, les télescopes et la capture des émissions des satellites. Un rayon qui arrive parallèlement à son axe, se réfléchit, et passe par le foyer de la parabole. Le trajet inverse est utilisé dans les phares : en mettant la lampe au foyer de la parabole on est assuré, qu’après réflexions sur la parabole, les rayons sortent parallèlement à son axe.
parabole+foyer
Parabole aves son foyer
paraboloide

Paraboloïde

Intersection d'un cône et d'un prisme
 

Comment une courbe peu-elle être vue suivant différents points comme un cercle, un carré et un coeur ?
cercle
carré
coeur

 Il sagit de l'intersection d'un prismeet d'un cône. Le cercle est vu du sommet du cône, le carré du sommet du prisme et le coeur d'un autre point de vue.

courbe tournante
intersection cône et prisme