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Fonctions complexes

Le plan complexe

« Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. »                  Paul Louis Borges

 

Le carré d’un nombre réel est positif ((-1)²=1). Il n’y a pas de nombre réel dont le carré est -1. Pour résoudre les équations, les mathématiciens ont inventé le nombre i dont le carré est -1. Ils l’ont appelé nombre imaginaire. L’ensemble des nombres de la forme x+iy,  avec x et y nombres réels quelconques, est l’ensemble des nombres complexes. Il est représenté par le plan habituel, repéré par deux axes orthogonaux et les points M de coordonnées (x,y).  L’ensemble des nombres complexes est muni de manière naturelle de l’addition et de la multiplication  qui possèdent leurs règles bien connues : associativité, commutativité, distributivité. Ceci est extraordinaire, car il n’y a pas d’autres extensions de l’ensemble des nombres réels qui réalise cet exploit ! Ces nombres, en fait, n’ont rien d’irréel car ils sont couramment utilisés en mathématiques et en physique. Ils sont indispensables en mécanique quantique, en électricité, en communication …

pkan complexe

Le plan complexe

entiers de Gauss

Les entiers complexes premiers

 

Si  on ne considère que les complexes formés à partir d’entiers, donc de la forme n+ip avec n et p entiers, on peut comme dans les entiers chercher ceux qui sont premiers : ce sont ceux qui n’ont pas de diviseurs propres. Ils sont représentés dans le dessin ci-dessus. Par exemple 2 , qui est premier dans les entiers, ne l’est plus dans les complexes car : 2=(1+i) (1-i). Les complexes (1+i), (1+2i), (2+i), ne peuvent pas s’écrire comme un produit de deux entiers complexes non triviaux, sont donc  premiers.

 La transformée de Fourier

La transformée de Fourier fait correspondre à une fonction réelle une fonction à valeurs complexes. Elle permet de représenter son analyse en fréquence .Elle est trés utile en mathématiques et dans le traitement du signal.



Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
prisme
Prisme qui décompose la lumière


Pour étudier les phénomènes de propagation de la chaleur , Jean Baptiste Fourier invente une théorie dans laquelle une distribution donnée peut se décomposer en une somme d'un fondamental et de ses harmoniques. Ses travaux sont publiés en 1822. L'académie des sciences lui décerne un prix spécial . La théorie de l'analyse spectrale est née, pour se répandre dans tous les domaines scientifiques : biologie, diagnostique médical, traitement du signal, astronomie, compression des images ...
Pour avoir une idée intuitive de la transformée de Fourier étudions le fonctionnement de notre cerveau et de notre oreille interne lorsque nous écoutons de la musique. Les ondes sonores viennent frapper notre tympan qui se déplace à leur rythme. La cochlée ,ou oreille interne, transforme les variations de pressions captées par le tympan en une information fréquentielle qui est interprétée par le cerveau comme une tonalité et une texture.
La transformée de Fourier est une technique mathématique qui réalise quelque chose d'analogue : décomposer une fonction du temps en un spectre de fréquences, à la manière d'un prisme qui décompose la lumière en un spectre de couleurs. La transformée inverse permet de retrouver la fonction initiale de la même façon qu'un second prisme placé à la suite d'un premier (et inversé ) permet de reformer le rayon décomposé par le prisme précédent.
Le calcul de la transformée de Fourier discrète (tfd) appliquée à n nombres nécessite plus de n2 multiplications et donc devient vite impossible à effectuer dés que n est grand. L'algorithme, désormais célèbre, de la transformée de Fourier rapide permet de ramener ce nombre d'opérations à environ n× log2(n). Il a été inventé en 1960 par Cooley et Tukey, ingénieurs dans un centre de recherche d'IBM. Ainsi cette réduction de complexité suffit à faire passer d'impossibles à facilement résolubles nombre de problèmes.

Regarder  ici sous forme de pdf la transformée de Fourier rapide.



Les ensembles de Julia

Gaston Julia (1893-1978) est un mathématicien français spécialiste des fonctions complexes. Les ensembles qui portent son nom sont construits par itérations. Ils ont une structure fractale : en zoomant on a toujours une structure qui se reproduit. Partons d’un nombre complexe C fixé. Soit  f l’application  qui fait correspondre à tout complexe z le nombre complexe f(z)=z²+C. On construit ensuite les itérés : z0=z, z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2) …, zn+1=f(zn). On a alors deux possibilités.

1.      La suite des points zn est bornée.

2.      La suite des points zn part à l’infini. C’est le cas dés qu’elle sort du cercle  de rayon 2 centré en  O.

L’ensemble des points z pour lesquels la suite est bornée constitue l’ensemble de Julia  JC. Pour avoir un joli dessin on colore Les points situés à l’extérieur de JC en fonction du nombre d’itérés nécessaires pour sortir du cercle de centre O et de rayon 2. Une faible variation du point de départ z, change radicalement le comportement de la suite zn . Voici deux exemples d’ensembles de Julia.

ensemble de Julia

Z0=-0,414-0,612i

julia

Z0=-0,285+0.01i

 

L’ensemble de Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (1924-2010) fut un élève de Gaston Julia. On lui doit la découverte de l’ensemble qui porte son nom. Soit  f l’application  qui fait correspondre à tout complexe z le nombre complexe f(z)=z²+C, C étant un complexe donné. On construit ensuite les itérés : z0=0, z1=f(z0)=C, z2=f(z1)=z1²+C, z3=f(z2) =z2²+C…, zn+1=f(zn)=zn²+C. L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des complexes C pour lesquels cette suite est bornée. Cet ensemble est obtenu par itérations successives. Des millions de personnes peuvent s’y promener, chacun aura une vision différente. Voici l’ensemble de Mandelbrot avec un zoom sur le point noir.

mandelbrot
L'ensemble de Mandelbrot

zoom
Zoom

On voit en zoomant un monde nouveau qui s’offre à nos yeux. Un nouveau zoom nous ferait plonger à l’intérieur de l’ensemble et découvrir un autre paysage.

1a parabole Y=X²

Les nombres habituels sont les nombres réels. L'équation X²=-1 , n'a pas de solution réelle, mais deux solutions imaginaires X=i et son opposé X=-i. L'ensemble des nombres z=x+iy, x et y étant deux nombres réels quelconques forme l'ensemble des nombres complexes. C'est maintenant un outil indispensable en mathématique, en physique, en électrotechnique. Les nombres complexes sont utilisés par nos enfants au lycée. La représentation des fonctions réelles est apprise dés la classe de seconde, mais la représentation des fonctions complexes n'est guère utilisée. Voici des exemples de courbes 2D et de leur analogue en 4D. On utilise souvent l'écriture trigonométrique des complexes : z=x=iy=r*exp(i*v), r étant son module et v son angle polaire.

Si vous lancez un ballon , il décrit une parabole. C'est la plus simple des courbes planes à part la droite. Son équation est Y=X². En quatre dimensions la courbe correspondante a pour équation W=Z², W et Z étant des nombres complexes.


parabole
Y=X²
parabole 4d
Z=W²

Pour tracer la surface correspondant à une fonction complexe, téléchargez ici le programme povray et changez l'équation de la fonction au début.
L'ensemble R4 est le produit cartésien de l'ensemble des complexes C par lui même. Un point M de R4 est donc un couple (Z,W) de 2 complexes. La surface W=Z² a donc pour équations paramétriques :
X=v*cos(u) ; Y=v*sin(u) ; Z=v²*cos(2*u) ,T=v²*sin(2*u);
Dans le dessin en 4D, on voit les 4axes du repère, en rouge l'axe des x, en bleu celui des y, en vert celui des z, et enfin en noir celui des t.
La cubique Y=X3
cubique
Y=X3
cubique dans c+
Z=W3
Dans le dessin en 4D, on a tracé la courbe plane Y=x3 en bleu, le repère est l'hypercube cyan.

La cuspide
On désigne par cuspide la pointe acérée d'une dent ou d'un organe végétal. On peut la représenter par la courbe d'équation Y²=X3.
cuspide 2d
Y²=X3
cuspide 4d
Z²=W3

La sinusoïde

Le courant habituel est alternatif, ce qui signifie que sa courbe représentative est une sinusoïde. La variation du courant en fonction du temps est da la forme Y= sin(X). On peut aussi tracer la surface correspondant en dimension 4 : W=sin(Z).

sinus sin(z)
Rappelons que dans C on a : sin(z)=sin(x+iy)=sin(x)*cosh(y)+i*sinh(y)*cos(x) . Dans le dessin  4d, on a tracé sin(x) en bleu dans le plan O,x,z ,  la surface d'équation W=sin(Z) a été tracée pour  Z=v+i*u, v variant de 1 à 2 et u de -2pi à 2pi.

 L'exponentielle.
Rappelons que dans C on a :  exp(x+iy)=exp(x)*exp(iy)=exp(x)*cos(y)+i*exp(x)*sin(y).
exp(x)
Y=exp(X)
exp(z)
W=exp(Z)

La courbe bleue, tracée dans l'espace à quatre dimensions, est la représentation de Y=exp(X) dans le plan O,X,Z . Quand X vaut -3 Z est presue nul, donc l'axe OX est asymptote.

L'hyperbole Y=1/X
inverse de x
Y=1/X
homographie
W=1/Z

Pour tracer la surface en 4D, il vaut mieux utiliser les coordonnées polaires : X=v*cos(u) , Y=v*sin(u) , Z=(1/v)*cos(u) , T=(-1/v)*sin(u).

La surface d'équation implicite z1²+z2²=a²
Z1, z2, a étant des nombres complexes  soit S la surface d'équation implicite z1²+z2²=a². Elle peut se paramétrer grace à une astuce.
Dans r² le cercle s'équation x²+y²=1 se paramètre en X=cos(theta); Y=sin(theta), theta variant de 0 à 2*pi, car cos²(theta)+sin²(theta)=1;
De même dan C Cos²(z)+Sin²(z)=1, avec  Cos et Sin étant les fonctions complexes de la variable complexe z.
Cos(z)=cosh(Im(z))*cos(Re(z))-i*sinh(Im(z))*sin(Re(z))
Sin(z)=cosh(Im(z))*sin(Re(z))+i*sinh(Im(z))*cos(Re(z))
L'équation de la surface en question  s'écrit : (z1/a)²+(z2/a)²=1.
Elle peut se paramétrer en  z1=(+ou-)a*Cos(z) , Z2=(+ou-)a*Sin(z).
Voici les surfaces obtenues  dans C² en faisant varier a.
On agit de façon analogue pour la surface d'équation implicite : z1^3+z2^3=a^3 qui s'écrit ((z1/a)^3)^2/3+((z2/a)^3)^2/3=1.
On a la paramétrisation suivante de cette surface dans C².
z1=exp(i*2*pi*(k1/3)*cos(z)^(2/3) , k1=0,1,ou 2
z2=exp(i*2*pi*(k2/3)*cos(z)^(2/3) , k2=0,1 ou 2.

 
z1²+z2²=1
z1²+z2²=exp(i*theta)
z1^3+z2^3
z1^3+z2^3=a^3

De même on peut paramétrer la surface d'équation implicite z1^n*z2^n=1.
z1=exp(i*2*pi*(k1/n)*exp(z/n), k1=0,1,..n
z2=exp(i*2*pi*(k2/n)*exp(-z/n), k1=0,1,..n
z1^n*z2^n=1
z1²*z2²=1
z1^3*z2^3=1
z1^3*z2^3=1

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