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1. Représentation de   en perspective.

            Soit   avec sa base canonique   muni du produit scalaire habituel. L’espace affine associé  d’origine  O,  les  extrémités des vecteurs précédents d’origine  O sont notés : I, J,K,L. Alors les vecteurs    sont de norme 1 et chacun de ces vecteurs est orthogonal aux  3 autres. Et la base  est directe : son déterminant vaut 1.

 Un point M de coordonnées (x ; y ; z ; t) est défini par  . Représentons par exemple M(1 ;2 ;1 ;2).,

 

Alors  ;  ;

perspective

Il faut imaginer que la droite (Ot) part  dans la quatrième dimension. Elle est orthogonale  à l’espace déterminé par les 3 autres : notre espace à 3 dimensions.

K’(1 ;2 ;1 ;0) est dans notre espace  c’est  à dire dans l’hyperplan  (O, ). Son équation cartésienne est t=0.

.

m est le projeté  de M sur le plan (O,) parallèlement au plan  (O,).
m’ est le projeté de M sur le plan (O,)  parallèlement au plan (O, )
m’’ est le projeté de M sur le plan  (O,,) parallèlement au plan (O, ).

2. Rotations particulières de 

La rotation  d’angle u par rapport au plan (O,) a pour matrice :

     i     j       k              l

 

 

Elle transforme M(x ;y ;z ;t) en M’(x’ ;y’ ;z’ ;t’) :

 

 

Dans le plan  (O,) c’est la rotation plane de centre O et d’angle u. Le plan  (O) est fixe.

Dans le cas particulier où u=90°  la matrice devient 

 se transforme en  .   se transforme en  -.

On définit de la même façon les rotations par rapport aux autres plans de base.

rotation autourd'un planAnimation montrant la rotation d'un cube autour de sa face rouge.

Maison tournant autour d'un plan

rotation d'une maison autour d'un plan

Rotation d'un canard sur l'hypersphère. L'insertion sur l'hypersphère par l'inverse de la projection stéréographique donne des dilatations : video

Rotation d'un canard en 4dimensions.

rotation d'un canard en 4 dimensions

3. produit  scalaire , norme.

Soit   de coordonnées (x,y,z,t) et   de coordonnées (x’,y’,z’,t’).

Alors le poduit scalaire de ces deux vecteurs est    .=xx’+yy’+zz’+tt’ et

 (norme de u==x²+y²+z²+t².

4. Produit vectoriel.

Le produit vectoriel    de trois vecteurs de   est  défini par l’écriture suivante pour tout vecteur  :

().=déterminant de ().

Donc la première coordonnées de   est  = déterminant de ()=

.

 

Donc la deuxième coordonnées de    est  ().= déterminant de ()=

.

Donc la troisième coordonnées de   est  ().= déterminant de ()=

Donc la quatrième coordonnées de   est  = déterminant de ()=

Autrement dit   s’obtient  en développant  de façon formelle le déterminant suivant la dernière ligne :

 

==

 

.

Remarque 1 : le déterminant |  | est le volume du polytope  construit sur ces 4 vecteurs.

Remarque 2 :  le vecteur   est orthogonal à chaque vecteur    .

Remarque 3 : Calculons le produit vectoriel des  3 premiers vecteurs de base .

1

La base   est bien orthonormée directe.


5. Représentation en géométrie descriptive  de l’espace 4d.

Soit par exemple  M(1,2,1,2)

En perspective on peut le représenter ainsi :

Figure 1

M est déterminé par ses 3 projections :

m(1,2,0,0) qui appartient au plan O,  plan horizontal.

m’(0,2,1) qui appartient au plan frontal O,

m’’(1,0,0,2)  qui appartient au plan O, qu’ on peut nommer plan temporel.

K est le projeté de M  sur notre espace ou encore l’hyperplan d’équation cartésienne t=0.

 

On rabat m sur le plan frontal par la rotation r  de 90° par rapport au plan O, . Dans cette rotation le plan (O )vient se placer sur le plan (O, ).

 

On rabat m’’  en faisant d’abord la rotation de 90° par rapport au plan (O). Dans cette rotation  le plan (O,) devient le plan (O). On lui fait ensuite la rotation r qui transforme (O) en (O,  ).

On obtient la représentation plane de l’espace  4d.

:

M est déterminé par ses 3 projections : m , m’ , m’’.

[mm’] est perpendiculaire à (Oy)

[m’’m’] est perpendiculaire à (Ox)

6. Représentation en perspective de l’espace 4d.

 

Elle correspond  à cette image due au peintre Durer.

durer

Dans cette  image la réalité est projetée sur un plan avec une projection conique.

Nous allons de la même façon projeter  M(x ;y ;z ;t) sur  un hyperplan H en N(X. ;Y ;Z ;T).

N(X ;Y ;Z ;T) est l’intersection de la droite (MA) avec l’hyperplan H. On garde ensuite 2 ou 3 des coordonnées de N suivant le logiciel que l’on va utilise.

La camera (ou l’observateur) est en A(a ;b ;c ;d) il regarde le point M(x ;y ;z ;t).

 est le vecteur unitaire qui dirige (OA) .

On pose :  

Alors  on a : 

L’hyperplan ( = le sous espace de dimension 3)  passant par O  normal à    a pour équation cartésienne :  aX+bY+cZ+dT=0.

Les équations paramétriques de la droite  (AM) sont :

X=(1-w)a+wx

Y=(1-w)b+wy

Z=(1-w)c+wz

T=(1-w)d+wt

N(X;Y;Z;T) est défini par la valeur du paramètre w solution de l’équation :

(1-w)a²+awx+(1-w)b²+bwy+(1-w)c²+cwz+(1-w)d²+dwz=0.

Donc on obtient :

D’où N intersection de (AM) avec H  a pour coordonnées dans le repère  

X=(1-w)a+wx

Y=(1-w)b+wy

Z=(1-w)c+wz

T=(1-w)d+wt

 Avec w la valeur obtenue.

On cherche les coordonnées de N  dans  un repère orthonormé   afin d’avoir les coordonnées du point projeté dans la direction définie par la position A de la caméra.

On choisit arbitrairement    et   orthogonaux à   et de norme 1.

On prend finalement  

 a pour coordonnées : (w; w; w; w)

Notons A la matrice de passage de   à  .

 Par suite les coordonnées de N dans la nouvelle base sont  données par :

Si on veut une projection sur l’hyperplan  H on ne garde que les 3 premières coordonnées et la dernière. Si on veut une projection sur un plan on ne garde que les 2 premières.

 On peut aussi choisir comme matrice orthogonale de passage :

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