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Hyperplans

14 Intersection D’un plan P avec un hyperplan H

Un hyprplan H est défini par un point A de H et trois vecteurs indépendants donnant la direction de H. Tout point M de H est tel que ,x ,y, z étant 3 réels arbitraires.

En général on a :  dim(P)+dim(H)-dim()=4, donc  dim()=1 donc P et H se coupent selon une droite D.

Soit par exemple  H défini  par A(2 ;2,2 ;3)  

P est défini par B(4 ;5 ;3 ;4)  

On dessine les 3 points d’intersection de P avec les 3 plans de H :  .

La droite D passe par M1, M2, M3 qui sont respectivement les points d’intersection de P avec Q1, puis de P avec Q2 et finalement de P avec Q3.

M1 :( 33/7 ; 41/14 ; 7/2 ; 36/7) a été dessiné précédemment.

M2 : (15/14 ; 46/7 ; -19/14 ; 55/14) on fait de même.

M3 : (30/7 ; 47/14 ; 41/14 ; 5) on fait de même.

Pour résoudre directement  de manière analytique l’’ntersection de P et H  on injecte les 4 équations paramétriques de P dans l’équation cartésienne de H.

Soit  pour P :x=4+m+n ; y=5-2m+m ; z=3+m+2n ; t=4+m-n.

Pour H : 7x-8y-12z+3t+17=0.

On trouve directement les équations paramétriques de D : x=75/14+3m ; y=16/7-3m ; z=61/14+4m ; t=75/14+m

En perspective on a la représentation suivante.

En bleu c’est la droite d’intersection de H avec P. les trois points M1, M2, M3 sont tracés  en blanc, mais on en voit que deux. On les a joints à A. La droite bleu est incluse dans le plan vert et dans l’hyperplan  dont on a dessiné  les 3 plans qui le définissent : plan cyan, plan rouge, plan jaune.  En 4 dimension il faut considérer qu’un hyperplan a l’épaisseur d’une feuille de papier, donc un plan le coupe suivant une droite.

 

15 Intersection d’une droite D avec un hyperplan H

En général dim(D+H)=4, Ceci  se produit quand  D n’est pas incluse dans H. comme dim(D)+dim(H)-dim()=4, dim()=0. Autrement dit D coupe H en un point.

Prenons par exemple  H défini par  le point  A(1 ;2 ;2 ;3) et  ses 3 vecteurs directeurs   .

D passe par B(2 ;5 ;3 ;4) et a pour vecteur directeur  (1 ;-2 ;1 ;-2).

On désire trouver géométriquement l’intersection M(m ;m’ ;m’’) de  D avec H. On a vu précédemment comment tracer  l’intersection d’un plan P avec un hyperplan H. On obtient une droite.  Il suffit donc de choisir deux plans P1 et P2 contenant D qui nous donnent par leur intersection avec H  deux droites D1(d1 ;d’1 ;d’’1)  et  D2(d2 ;d’2 ;d’’2). Le point d’intersection de D1 avec D2 nous donne le point M cherché.

 La droite D ( en   bleu)  coupe l’hyperplan H ( en  rouge) en un point coloré en rouge. On a joint ce point  rouge aux extrémités des vecteurs qui définissent l’hyperplan H.

 

 Sur la représentation en descriptive  on  remarque les deux droites D1(d1,d’1,d’’1) et d2(d2,d’2,d’’2) qui se coupent  en M(m, m’,m’’) .

  M(m , m’, m’’) est le point  d’intersection de D avec H.

16 Séparation de 2 anneaux. Deux anneaux entrelacés dans notre espace 3d peuvent être séparés en translatant l'un suivant un axe orthogonal à l'hyperplan 3d qui les contient. Soit par exemple l'anneau cyan d'équations : x=cos(u) , y=sin(u) , z=0 , t=0 et l'anneau rouge d'équations : x=cos(u)-1 , y=0, z=sin(u) ,t=0. Faisons glisser l'anneau cyan selon le cylindre d'équations : x=cos(u) , y=sin(u) , z=0, t=v. Il glisse sans couper l'autre anneau comme le montre l'animation ci-dessous. séparons les anneaux
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