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fractals : SYSTEME DE FONCTIONS ITEREES

1 Théorème du point fixe pour une application contractante

Soit X un espace métrique complet, c'est à dire un ensemble muni dune distance d et tel que toute suite de Cauchy est convergente. Rappelons qu'une suite est dite de Cauchy si pour tout réel e positif on peut choisir un entier N suffisamment grand pour qu'à partir de ce rang tous les termes de la suite se trouvent distants les uns des autres de moins de e. Une application f de X dans X  est dite contractante, si  pour tous les x et y de X  d(f(x),f(y))<=k*d(x,y) avec un nombre k fixe de [0;1]. On interprète cette condition en disant que f contracte ou rétrécit les distances. C'est le cas par exemple des similitudes de rapport k de [0;1] dans le plan habituel.

Le théorème fondamental du point fixe énonce que toute application contractante de X admet un point fixe p, que ce point fixe est unique, et que pour tout x de X la suite des itérés de x, à savoir x1=f(x), x2=f(x1), x3=f(x2), ..., x(n+1)=f(xn) , ... , converge vers ce point fixe p.

Pour illustrer cette propriété vous voyez ici cette suite d'itérés  de points du plan qui se rapprochent d'un certain point encore non dessiné.

suite

2 Distance de Hausdorff sur l'ensemble К des  compacts K non vides de C.

Nous allons considérer des transformations qui agissent sur des compacts de  l'ensemble des nombres complexes C. En effet les segments, les cercles les carrés c'est à dire des ensembles fermés et bornés de C sont des compacts. Les applications géométriques habituelles c'est à dire les similitudes , les translations, les homothéties et les rotations  opèrent sur  l'ensemble К des compacts de C c'est à dire les fermés bornés de C. Nous devons donc définir une distance sur К. Cela signifie qu'il faut dire quelle est la distance qui sépare deux compacts donnés.

Rappelons qu'une distance doit posséder les propriétés habituelles d'une distance.

a) d(x,y)=d(y,x) propriété de symétrie

b)  d(x,y) est  un nombre positif ou nul et d(x,y)=0 si et seulement si x=y

c) d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y) dite inégalité triangulaire ou le plus court chemin entre deux points est la ligne droite

inégalité triangulaire

Bien sur la distance habituelle dans le plan d(x,y), c'est à dire la longueur du segment  joignant x à y possède cette propriété car c'est sur cette idée que l'on construit la théorie mathématique.

La définition d'une telle distance se fait en deux étapes.

On définit d'abord la distance dK(z) d'un point  z de C à un compact K de К  par :

dK(z)=inf { |x-z |, x parcourant K }. Cela correspond à la distance que vous parcourez pour aller de z  au lac K par le chemin le plus court.

Ensuite  on définit la distance d(K1,K2) entre deux compacts de C par :

d(K1,K2) =sup  { | dK1(z) - dK2(z) |  pour z parcourant C }

On peut aussi définir cette distance par :

d(K1,K2) =sup ( sup (dK1(z) pour z dans K1) , sup (dK2(z) pour z dans K2).

Illustrons cette distance dans deux cas pour faciliter la compréhension.

3 Propriétés de l'ensemble H des compacts de C munis de la distance de Hausdorff.

C'est un espace métrique complet, et toute application f contractant dans C induit naturellement une application f sur H  : f(K)= { f(z) lorsque z parcourt K }..

4 Principe de création de fractales par I.F.S.

On considère une famille des contractions f1 , f2 , f3 , ..., fn , ce sont souvent des similitudes (de rapport inférieur à 1 bien sûr, pour contracter les distances).

En effet une contraction n'ayant qu'un point fixe , on ne peut faire de belles figures avec une seule contraction. On part d'un compact K0 ,c'est à dire une figure fermée bornée, arbitraire. On définit ensuite une suite de compacts de la façon suivante :

K1=f1(K0) U f2(K0) U f3(K0) ... U fn(K0)  puis K2=f1(K1) U f2(K1) U f3(K1) ... U fn(K1)  ...etc   Kn=f1(Kn-1) U  f2(Kn-1) U f3(Kn-1) ... U fn(Kn-1)

Dans cette expression U désigne l'union d'ensembles. On a de cette façon une application F sur l'ensembledes compacts qui est une contraction. Elle admet un unique point fixe qui est donc un compact K . K est appelé attracteur car la suite de compacts K 0, K1,..., Kn se rapproche de K. Elle semble attirée par K. Remarquons que cela doit être fait par ordinateur car le nombre de compacts créés croit exponentiellement : d'abord 1, puis n, puis n², puis n3 .... etc .

5. Triangle de Sierpinski

Pour le triangle de Sierpinsky partons d'un triangle équilatéral de sommets p1, p2 , p3. Nous avons les trois similitudes de rapport 0,5 suivantes

1: homothétie de centre O de rapport 0.5 suivie de la translation de 0,5*p1.

2: homothétie de centre O de rapport 0.5 suivie de la translation de 0,5*p2.

3: homothétie de centre O de rapport 0.5 suivie de la translation de 0,5*p3.

triangle de sierpinski

Voici le programme povray pour le tracer.

6 Flocon de Koch

Voici le programme povray pour le tracer :

Voici l'animation gif qui donne 7 itérations.

flocon de koch

Nous avons 4 similitudes de rapport 1/3. Pour avoir une programmation simple prenons comme compact de départ le segment [a ;b] avec a=0 b=1 .

Nous transformons ce segment en 4 segments  de longueurs 1/3 = ac=cd=de=eb.

koch

Les écritures de ces points sous formes complexes sont :

a=0 ; b=1; c=(b+2a)/3=1/3 ;  d=(3+iV3)b/6 +(3-iV3)a/6;e=(a+2b)/2

Les 4 contractions qui donnent ces 4 segment à partir de [a ;b] sont :

T1 : z'=1/3z . T1 (a)=a ; T2 (b)=c . C'est une homothétie de rapport 1/3.

T2 : z'=(( 1+iV3)/6 )z+(3-iV3)a/6+b/3 ; T2 (a)=c ; T2 (b)=d . C'est une similitude de rapport 1/3 et d'angle 60°. On fait d'abord l'homothétie de centre a  et de rapport 1/3, puis la translation (2a+b)/3, suivie de la rotation de centre c et d'angle 60°.

T3 : z'=((-1+iV 3)/6)z+(3-iV3)a/6+2b/3 T3 (a)=d ; T3 (b)=e . C'est une similitude de rapport 1/3 et d'angle 120°. On fait d'abord l'homothétie de centre a et de rapport 1/3, puis la translation (a+2b)/3, suivie de la rotation de centre e et d'angle -120°.

T4 : z'=1/3z +2/3. T2 (a)=e ; T2 (b)=b . C'est une homothétie de rapport 1/3.

Pour tout compact  K de C (=ensemble des nombres complexes ) nous définissons T(K)= T1 (K) U T2 (K) U T3 (K) U T4 (K) .

Partant de K0=[a ;b]  nous avons à la première itération :  K1=T(K0)=[a ;c]U[c ;d]U[d ;e]U[e ;b] . Puis K2=T(K1) ; K3=T(K2) ; K4=T(K3) ...

 

Nous avons 4 similitudes de rapport 1/3. Pour avoir une programmation simple prenons comme compact de départ le segment [a ;b] avec a=0 b=1 .

Nous transformons ce segment en 4 segments  de longueurs 1/3 = ac=cd=de=eb.

koch

Les écritures de ces points sous formes complexes sont :

a=0 ; b=1; c=(b+2a)/3=1/3 ;  d=(3+iV3)b/6 +(3-iV3)a/6;e=(a+2b)/2

Les 4 contractions qui donnent ces 4 segment à partir de [a ;b] sont :

T1 : z'=1/3z . T1 (a)=a ; T2 (b)=c . C'est une homothétie de rapport 1/3.

T2 : z'=(( 1+iV3)/6 )z+(3-iV3)a/6+b/3 ; T2 (a)=c ; T2 (b)=d . C'est une similitude de rapport 1/3 et d'angle 60°. On fait d'abord l'homothétie de centre a  et de rapport 1/3, puis la translation (2a+b)/3, suivie de la rotation de centre c et d'angle 60°.

T3 : z'=((-1+iV 3)/6)z+(3-iV3)a/6+2b/3 T3 (a)=d ; T3 (b)=e . C'est une similitude de rapport 1/3 et d'angle 120°. On fait d'abord l'homothétie de centre a et de rapport 1/3, puis la translation (a+2b)/3, suivie de la rotation de centre e et d'angle -120°.

T4 : z'=1/3z +2/3. T2 (a)=e ; T2 (b)=b . C'est une homothétie de rapport 1/3.

Pour tout compact  K de C (=ensemble des nombres complexes ) nous définissons T(K)= T1 (K) U T2 (K) U T3 (K) U T4 (K) .

Partant de K0=[a ;b]  nous avons à la première itération :  K1=T(K0)=[a ;c]U[c ;d]U[d ;e]U[e ;b] . Puis K2=T(K1) ; K3=T(K2) ; K4=T(K4)


7 Fougère de Barnsley


fougère de Barnsley

On a trois similitudes.
1:  translation selon y de 0.8, suivie de la rotation de centre O d'angle 50 degrés, homothétie de centre O de rapport 0.3(pour la feuille de droite)
2:  translation selon y de 0.2, suivie de la rotation de centre O d'angle -50 degrés, homothétie de centre O de rapport 0.3(pour la feuille de gauche)
3: translation selon y de 0.6, suivie de la rotation de centre O d'angle 2 degrés, homothétie de centre O de rapport 0.8(pour la tige)
Voici le programme povray correspondant.

8. Arbre en 2 dimensions


arbre fractal en dimension 2

Nous avons 2 similitudes.

1: rotation de 30 degrés et homothétie de rapport 0.6 (pour la branche de gauche)

2: rotation de -30 degrés et homothétie de rapport 0.6 (pour la branche de droite)

Voici le programme povray correspondant.

9: Arbre en 3 dimensions


arbre fractal en 3 dimensions

Pour l'obtenir on utilise les transformations suivantes.

1. branche 1: rotation de 30 degrés suivant ox, réduction d'un facteur de 0.7

2. branche 2 : rotation de 50 degrés selon ox,rotation de -30 degrés selon oz, réduction d'un facteur de 0.65

3. branche 3: rotation de 10 degrés selon ox, rotation de 40 degrés selon oz, réduction d'un facteur de 0.65

4. translation de 1 selon oy, rotation de 216 degrés selon oy.

Voici le programme povray correspondant.


10 : Tétraèdre de Sierpinski

A chaque itération on fait une réduction de la figure par 2 et on la translate vers chaque sommet.


tétraèdre de Sierpinsky

Téléchargez le programme povray correspondant

11. Koch en 3 dimensions
On réduit le tétraèdre de moitié. Puis on le déplace au centre de chaque face.
koch en  3 dimensions
Cliquez pour avoir le code povray
12. Sierpinski en 4d
On réduit l'hypertétraèdre de moitié et on le déplace aux  4 sommets
sierpinski4 4d
Cliquez pour avoir le programme povray
13 Arbre en 4d
arbre en dimension 1
Cliquez ici pour avoir le programme povray

14 La courbe de Van der Waerden

Cette courbe  a été inventée  pour montrer une fonction continue mais non dérivable.

Partons de la fonction f(x)=min(frac(x),1-frac(x)) , ou frac(x)  désigne la partie fractionnaire de  x. C'est une fonction de période 1.

Si x est entre 0 et 0,5 f(x)=x . Si x est entre 0,5 et 1 f(x)=1-x. C'est une courbe en dents de scie. Elle est dérivable partout sauf aux pointes et aux creux où elle possède seulement une dérivée à droite et une à gauche égale à 1 ou -1.

vdw1

Nous allons quadrupler  la fréquence des dents, diviser l'amplitude par 4 et ajouter à la fonction précédente. S1(x)=f(x)+0,25f(4x). nous obtenons :

vdw2

Recommençons : s2(x)=f(x)+f(4x)/4+f(16x)/16. Nous obtenons la courbe pour x entre 0 et 1. C'est le début de la courbe de Van der Waerden. Elle ressemble à un puy.

vdw3

La fonction de Van der Waerden est obtenue en réitérant sans arrêt ce processus. Notons pu(x) cette fonction .  

pu(x)=f(x)+f(4x)/4+...+f(4nx)/4n +...

On reconnaît  à droite du signe : f(x) +pu(4x)/4. Donc pu(x)=f(x)+pu(4x)/4

Nous une excellente idée de cette courbe en sommant jusqu'à n=2. Après on ne voit plus de différence. 

En faisant tourner la courbe autour de son axe de symétrie nous obtenons le dessin ci-dessous.

surface de van der waerden


En partant de x entre 0 et 1, x/4 est entre 0 et 1/4.  Donc 4 cas sont possibles.

1er cas : Calculons pu(x/4)

pu(x/4)=f(x/4)+pu(x)/4=x/4+pu(x)/4 =(x+pu(x))/4.

Donc si on fait la transformation  t1(x , y)=(x/4,(x+y)/4) on obtient (x/4,x/4+pu(x)/4) qui est un point de C en partant d'un point de C. C'est la composée de la transvection (x,y)=(x,x+y) par l'homothétie de centre O et de rapport 1/4.

 

 2ième cas : Si on calcule pu((x+1)/4) . Alors (x+1)/4 est entre 0,25 et 0,5. On obtient : pu((x+1)/4)=(x+1+pu(x+1))/4=(x+1)+pu(x))/4 puisque alors f(x)=x. Donc la courbe C est stable par la contraction t2(x , y )=((x+1)/4 ; (1+x+y)/4 ). 

3ième cas : Calculons maintenant pu((x+2)/4) avec le fait que (x+2)/4 est entre 0,5 et 0,75 , donc f(x)=1-x cette fois.

pu((x+2)/4)=1-(x+2)/4+pu(x+2)=(2-x+pu(x))/4. Autrement dit la courbe C est stable par la contraction t3(x ; y)=((x+2)/4 ; (2-x+y)/4 );

4ième cas : Calculons pour finir pu((x+3)/4) sachant que (x+3)/4 est entre 0,75 et 1 , donc f(x)=1-x.

pu((x+3)/4)=1-(x+3)/4+pu(x+3)/4=(1-x+pu(x))/4. On en conclut que C est stable par la quatrième contraction t4(x ; y )=((x+3)/4 ; (1-x+y)/4 ).

D'après ce que nous avons vu avant, C est donc l'attracteur de la famille formée par ces quatre contractions. Il suffit de partir du point e(0,5 ; 0,5) et de faire 5 fois T(A)=t1(A) U t2(A) U t3(A)  U t4(A)  pour obtenir une figure très proche de C. En partant de e situé sur C tous les itérés sont sur C . A chaque itération leur nombre quadruple . Au bout de 5 itérations nous obtenons 45=1024 points ce qui est suffisant pour voir C, surtout si les points sont gros.

15 La fonction de Van der Waersden est continue mais dérivable nulle part.

a : Une fonction continue.

 Soit  donc vdw5  la fonction de Van der Waerden. Cette fonction est la limite de la suite  vdw6  avec vdw6biset vdw7 ou encore  vdw7bis et  vdw7ter . Les fonctions fn sont périodiques de période 1/4n et continues. Voici les représentations des 3 premières fonctions.

vdw8

On a la majoration  vdw9 . Donc la série vdw6 est normalement convergente , donc uniformément convergente. Comme toutes les fonctions fn sont continues, il en est de même pour la limite pu(x).

En terminale S ce théorème n'est pas encore connu, mais on peut quand même justifier la convergence de la suite vdw6.  En effet on a la majoration :

vdwbis . La suite vdw6 est donc croissante strictement et majorée, elle est donc convergente. Cela justifie l'existence de la fonction pu(x) dite de Van der Waerden.

 courbe de van der Waerden

2  : pu(x) n'est pas dérivable

Pour étudier la dérivabilité de pu(x)  cherchons la limite éventuelle de :

 

vdw11  pour avoir la dérivée à droite , ou vdw12pour avoir la dérivée à gauche.  .  Soit donc un entier n donné, et le découpage de [0;1]  en 4n sous intervalles de longueur 1/4n ." x " se trouve dans un de ces petits intervalles.

 

 

. Comme fn est périodique de période 1/4n on a : vdw30. On a aussi vdw31 .Ce sera encore le cas pour p>n car  dans ce cas fp est aussi périodique de période 1/4n .

.

Regardons maintenant le cas de fn-1  dont la courbe est formée  de segments définis sur des ensembles longueur 2 fois plus grands.  Nous allons considérer  le taux d’accroissement  droite  ou 

derivée gauche , de façon qu’ils soient égaux à 1 ou –1. Cela est toujours possible . Les 4 dessins suivants nous montrent selon les différents cas qu’en se déplaçant à droite de x ou à gauche de x d’une longueur 1/4n on peut rester dans un intervalle sur lequel  fn-1   est  affine.

1er cas :

  vdw14

Dans ce cas ,  on a un taux d’accroissement vdw25 .

2ième cas :  

vdw41

 On choisit le déplacement vers la gauche .

On a alors le taux d’accroissement : vdw24 .

3ième cas.  

vdw27

On choisit un déplacement vers la droite.

On a un taux d’accroissement vdw26bis .

 

4ième cas :  

vdw28

On choisit un déplacement vers la gauche.

 

Alors   on a un taux d’accroissement  vdw28bis .

Donc, selon la position de x dans les  subdivisions de [0 ;1] ,pour p=n-1,en choisissant pour  ksi  la valeur 1 ou –1 selon la procédure ci-dessus on obtient :

  vdw34.

 

Pour p encore plus petit, c’est à dire p=0,1,2 ,…,n-2 on a toujours le même résultat car  les subdivisions  sont incluses dans les intervalles supérieurs de longueur quadruples sur lesquels fp est affine de pente 1 ou –1.

Autrement dit pour p=0,1,2 ...n-1 on a :

 vdw34 .

Pour p=n, n+1, n+2 ...etc on a :


 vdw35

Par conséquent la somme somme  est formée de n termes, chaque terme pouvant être1 ou –1. En ajoutant un nombre un nombre pair de epsilon ( epsilon  vaut 1 ou -1) on obtient un nombre relatif pair : 1+1=2, 1-1=0; -1-1=-2 ... En ajoutant un nombre impair de on obtient un nombre relatif impair. Donc : sommeest un nombre relatif de même parité que n, car pour p supérieur à n vdw30 et le résultat de la somme précédente reste inchangé. Il s'en suit que le résultat de  somme  est un nombre relatif dont la parité est celle de n. Donc quand n augmente de 1  somme varie au moins d'une unité. Donc  sommene peut pas avoir de limite quand n tend vers l'infini. Il s'en suit que pu(x) n'est pas dérivable, et ceci pour tout x.

 


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