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Tresses, hélices, pelures, spirales

 Hélices

On peut tracer une hélice sur un cône, sa projection sur un plan perpendiculaire à son axe est une spirale.

hélice sur cone
cone : f(u,v)=X=(u*cos(v)/2 ; u*sin(v)/2; u )
hélice : f(v*0.2,v)

hélice cylindrique
cylindre : f(u,v)=(cos(u) , si,(u), v )
hélice : f(0.2*v, v)

 

Si on la trace sur un cylindre, sa projection est bien sûr un cercle.

On peut tracer des hélices dextrogyres ou sénestrogyres. En tournant l’une de 180° dans la quatrième dimension, on obtient l’autre.

deux hélices de sensopposés
2 hélices de sens opposés
hélice tournant sur S3
Hélice tournant dans la quatrième dimension : tournant à gauche elle devient tournant à droite.

Un vissage d'axe (Oz) est la succession d'une rotation d'angle theta d'axe (Oz) suivi d'une translation selon cet axe. Son écriture est vissage(x,y,z)=(cos(theta)*x+sin(theta)*y , -sin(theta)*x+cos(theta)*y , z+h) .

On peut tracer une sorte d’hélice sur une sphère (une loxodromie), sa projection stéréographique est  une spirale logarithmique.

vissage
Vissage

stéréographie
Projection stéréographique d'une hélice sphérique : c'est une spirale.

 On peut aussi peler une orange en faisant une hélice. De même une pelure d'orange se retourne en balayant l'hypersphère.

épluchure d'orange
Pelure d'orange
retournement de la sphere
Retournement de la sphère en  4 dimensions.

La vis d'Archimède est tés utilisée. Par exemple elle sert à transvaser les camions pleins de blé.

hélicoide
Hélicoide : f(u,v)=( u*cos(v); u*sin(v) ; v )
vis d'Archimède
Vis d'Archimède
hélice sur l'hypersphère
Hélice sur l'hypersphère.
tresse fractale
Tresse fractale
 
L"équation de l'hypersphère est : X=cos(u)*sin(v) , Y= sin(u)*sin(v) , Z=cos(w)*cos(v) , T=sin(w)*cos(w) . Pour tracer une courbe sur l'hypersphère rappelant l'hélice on peut prendre la paramétrisation suivante :
X=cos(u)*sin(0.1*u) , Y=sin(u)*sin(0.1*u) , Z=cos(0.01*u)*cos(0.1*u) , T=sin(0.01*u)*cos(0.1*u) .
La tresse fractale s'obtient à partir d'une tresse initiale de rayon 1. On lui fait subir ensuite une réduction de 1/4, suivie de rotations de 30 degrés successives, puis d'une translation d'une unité selon l"axe des x.
On recommence ensuite le processus. Téléchargez le programme povray correspondant.

Traçons aussi une hélice sur un tore.

Hélice sur tore
Equation du tore : f(u,v)=( R*cos(u)+r*cos(u)*cos(v);R*sin(u)+r*sin(u)*cos(v);r*sin(v) )
R=3 ; r=1
Equation de l'hélice f(i,10*i) pour 10 tours.
bracelet
La molécule d'ADN est souvent repliée comme sur ce dessin.

Hélice de Coxeter ou tétrahélice
Inscrivons un tétraèdre régulier dans une hélice de rayon r et d'axe (Oz). Faisons lui subir un vissage pour qu'il soit juste placédessus, face contre face. On réitére ce processus et on obtient l'hélice de Coxeter. Le côté du tétraèdre est 1, le rayon de l'hélice esr r=3*sqrt(3)/10, l'angle du vissage est theta=arccos(-2/3), le déplacement du vissage selon l'axe des z est h=1/sqrt(10). Le premier sommet du tétraèdre ou de la tétra hélice est
S0=(r,0,0). le vissage transforme chaque sommet en le suivant par la formule vissage(x,y,z)=(cos(theta)*x+sin(theta)*y ; -sin(theta)*x+cos(theta)*y ; z+h )Ainsi le sommet Sn a pour coordonnées :
Sn (r*cos(n*theta) , r*sin(n*theta) , n*h).
coxeter helix
Hélice de Coxeter
hélice de sphères
Sphères sur l'helice de Coxeter

En mettant une sphère sur chaque sommet de l'hèlice de Coxeter, on obtient un empilement de sphères. Téléchargez si vous le désirez le programme povray. Tore de tétraèdres
Nous allons réaliser une figure semblable à l'hélice de Coxeter sur un tore. Pour simplifier les calculs traçons le tore sur l'hypersphère S3. Son équation est : X=cos(u) , Y=sin(u) , Z=1/5*cos(v) , T=1/5*sin(v) ; Soit f(u,v)= (X,Y,Z,T)*sqrt(26)/5. Inscrivons sur ce tore une hélice qui tourne 30 fois : g(u)=f( u , 30*u). Inscrivons sur cette hélice un premier tétraèdre assez régulier : a0=g(0), a1=g(theta), a2=g(2*theta), a3=g(3*theta) , theta=2*pi/60. Le premier tétraèdre est T0, il est formé des 6 côtés a0a1, a0,a2, a0a3,a1a2,a1a3, a2a3. Le deuxième tétraèdre est son image par la rotation de Clifford suivante :
rot(X,Y,Z,T)=(X*cos(theta)+y*sin(theta), -X*sin(theta)+Y*cos(theta), Z*cos(alpha)+T*sin(alpha) , -Z*sin(alpha)+T*cos(alpha) ) , avec alpha=30*theta. Il sagit de la rotation autour du plan  XOY de l'angle theta et de la rotation autour du plan ZOT den l'angle alpha. T1=rot(T0). On poursuit T2=rot(T1) etc... Pour avoir le dessin dans notre espace à 3 dimensions on projette le tout par la stéréographie suivante :
proj(X,Y,Z,T)=(X,Y,Z)/(1-T).
hélice de coxeter sur tore construction de l'hélice

Téléchargez si vous le voulez le programme povray.

Questions de cheveux

Dessus, dessous, on fait une tresse qui peut être une frise. Une frise est formée d'un motif se répétant dans une direction donnée. Il y a sept façons de construire une frise à partir d'un motif donné. Le mathématicien énnonce : il y a sept groupes de frises. La frise ci-dessous est générée par la translation t.

tresse de cheveux frise translation

frise symétrie

Pour la frise suivante, on fait une symétrie suivie d'une translation.

épi épi

Sur une tête il y a toujours un épi (sauf pour les chauves !). Mathématiquement le théorème de la boule chevelue dit que sur une sphère chevelue il y a toujours un épi. Ce théorème a été démontré en 1912 par le mathématicien Jan Brouwer.

sphère chevelue
Une sphère chevelue a un épi.
tore chevelu
Pas d'épi pour le tore chevelu !
cercle chevelu
Pas d'épi pour le cercle chevelu
hypersphère chevelue
Pas d'épi en 4 dimensions pour la sphère.
En dimension 2, le cercle chevelu, et en dimension 4 l'hypersphère chevelue peuvent être parfaitement peignées, c'est à dire sans épi. En dimension 3, le tore peut être parfaitement peigné. C'est la raison pour laquelle, dans le confinement des plasmas, on utilise un tore et pas une sphère. Sur une sphère, il y a forcément un point en lequel le champ de confinement s'annule. Le plasma s'échapperait en ce point. Une autre conséquence de ce théorème est l'existence sur la terre d'un point autour duquel le vent tourbillonne. En ce lieu, la composante horizontale du vent est nulle.

 

Spirales

« L’homme regarde la fleur, la fleur sourit »                                  Victor Hugo

La spirale d’Archimède est décrite par un point M, qui en tournant autour du centre O, s’en éloigne à vitesse constante. L’équation polaire de cette courbe est ,  rho =OM étant le rayon vecteur,  et thêta  est l’angle polaire c'est-à-dire l’angle entre OM et l’horizontale.

Les spirales, que l’on trouve dans les fleurs, sont approximées par des spirales logarithmiques. Elles se rapprochent de la spirale d’or. Leurs équations polaires sont : .R=a*exp(k*theta) , R est le rayon vecteur,  theta l'angle polaire , k une constante donnée.

 

Spirale d’Archimède

spirale d'Archimède

Spirale logarithmique

spirale logarithmique

Le nautile est un coquillage dont l’intérieur présente  une spirale formée d'une douzaine de petites loges séparées les une des autres par des cloisons de nacre. Cette spirale est dite équiangulaire . Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît, mais la forme du coquillage conserve la structure d'une spirale logarithmique.

Le tournesol offre ses graines sous forme de spirales.
tournesol

La spirale du nautile

nautile

Des équations simples permettent de créer des coquillages crédibles.

X= exp(u/k)*cos(u)*(1+b*cos(v)) ;

Y=exp(u/k)*sin(u)*(1+b*cos(v)) ;

Z= exp(u/k)*(1+b*sin(v)); k=10, b=0.49

coquillage

X= exp(u/k)*cos(u)*(1+b*cos(v)) ;

Y=exp(u/k)*sin(u)*(1+b*cos(v)) ;

 Z= exp(u/k)*(k+b*sin(v)) ; avec k=25 et b=5

coquillage

 

Spirale d’Ulam

Un entier est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même. Le mathématicien Stanislas Ulam, contraint d’écouter un exposé long et ennuyeux, eut l’idée de représenter les nombres entiers sous forme  d’une spirale. En écrivant que les nombres premiers, on a une idée de leur répartition.


Ulam Ulam





   

Les cercles de Villarceau

Le tore est le nom mathématique d’une bouée. Il est connu depuis l’antiquité. Il est obtenu en faisant tourner un cercle de rayon r autour d’un grand cercle de rayon R. Il possède comme la sphère des méridiens et des parallèles. Il possède aussi deux autres étonnantes familles de cercles. Leur existence a été démontrée en 1848 par le mathématicien et astronome français Yvon Villarceau. Ces cercles d’équation  X=4*cos(v), Y=3+5*sin(v), Z=3*cos(v), sont dessinés sur le tore : X=(5+3*cos(v))*cos(u) ; Y=(5+3*cos(v))*sin(u) ; Z=3*sin(v).

tore

Méridiens et parallèles sur le tore

cercles de Villarceau

Cercles de Villarceau

cercles de Villarceau

Cercles de Villarceau

épluchures de villarceau

Epluchures de Villarceau

 

La cyclide de Dupin

Pierre Charles François Dupin a étudié cette surface en 1822. Vous savez que l’inverse de 2 est 1/2, l’inverse de 3 est 1/3. On définit aussi l’inversion en géométrie. L’inverse d’un tore est la cyclide de Dupin. L’inverse d’un cercle est  un cercle, lorsque le pôle d’inversion n’ets pas sur le cercle. On  va donc, par inversion des cercles de Villarceau, obtenir des cercles sur la cyclide.

cyclide de Dupin
Cyclide de Dupin

épluchures sur la cyclide
Epluchures de la cyclide
 
  Twist de Dehn
Soit A l'anneau formé des points  du plan situés à une distance de l'origine O comprise entre 1 et 2. Le wist de Dehn de cet anneau est l'  application v de A dans A définie par :
v(r*exp(i*theta)=r*exp(i*'theta+2*pi*r)). Dans cette écriture, pour  tout point M de A, r désigne la distance de O à M, theta l'angle polaire de OM, r varie de 1 à 2, theta de 0 à 2*pi.
Physiquement, le twist de Dehn de A, consiste à couper l'anneau A selon le segment  MN avec M=1, N=2, puis à le tordre avant de le reposer.
twist de Dehn de l'anneau
Twist de Dehn de l'anneau A
twist de dehn du cylindre
Twist du cylindre

On peut faire de même sur le cylindre. Voici les équations correspondantes : x=cos(u+2*pi*v), y=sin(u+2*pi*v), z=v, 0<u<2*pi, 0<v<1.

Pour tordre la sphère on peut utiliser les fonctions suivantes :
x=cos(v)*cos(u+v), y=cos(v)*sin(u+v), z=sin(v) avec 0<u<2*pi, 0<v<2*pi
Pour twister le tore on peut le faire en dimension 4 :
x=cos(3*u-2*v), y=sin(3*u-2*v), z=cos(2*u-v), t=sin(u-2*v)
twist de la sphère
twist du tore


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