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Plans

12 Intersection d’une droite D avec un plan P

Un plan P est défini par un point A de P et deux vecteurs  donnant sa direction. Alors P s'écrit :

Théorème sur l’intersection de deux sous espaces vectoriels de R:

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

 Alors on a: dim(F1+F2)=dim(F1)+dim(F2)-dim(F1∩F2)

On a de même pour des sous espaces affines:

Etant donnés A et B deux sous-espaces affines de dimension finie et non disjoints d'un espace affine X, la dimension du sous-espace affine engendré par   est égale à la dimension de A plus la dimension de B moins la dimension de  :  .

Ici  dim(D)=1, Dim(P)=2. Plaçons nous dans le cas où la  direction   de D n’appartient pas à celle de P. 

Si B est dans l’espace affine  engendré  de dimension 3 d’origine A et de vecteurs directeurs   alors 1+2-dim(D∩P)=3.

Donc dim(D∩P)=0. Donc D et P se coupent en un point. Mais si B n’est  pas dans l’espace affine  engendré  de dimension 3 d’origine A et de vecteurs directeurs     D et P ne se coupent pas. C’est le cas le plus courant.

Exemple 1 :

La droite d coupe le plan P.

B(4 ;4 ;2 ;7)  (1 ;2 ;-1 ;3). D est la droite passant par B et de direction .

A(1 ;2 ;1 ;1)  (1 ;1 ;1 ;1)  (1 ;-1 ;1 ;2) P est le plan passant par B et de vecteurs directeurs   et  .

 Donc les 4 vecteurs  sont dépendants. B est dans l’espace affine  engendré  de dimension 3 d’origine A et de vecteurs directeurs   ; Il s’en suit que Pet D se coupent en un point M. Pour obtenir les coordonnées de M on résout  le système formé par les équations paramétriques de D et P .

      Pour D :  .x=4+m ; y=+2m;  z=2-m ; t=7+3m

Pour P : x=1+n+p ;y=2+n-p ; z=1+n+p ; t=1+n+2p

On trouve M (3 ;2 ;3 ;4).

Trouvons maintenant M sans calcul par la géométrie descriptive.

 

P est le plan défini par A(a ;a’ ;a’’) et les 2 vecteurs  , les contenus des parenthèses étant les 3 projections sur les 3 plans habituels.

D(d ; d’ ; d’’) est la droite passant par B(b ;b’ ; b’’) et de direction  (w ; w’ ; w’’).Soit Q le plan de direction   passant par B. Il contient D.

. Q et P sont tous deux  dans l’hyperplan  (). Ils se coupent  suivant une droite Δ dont la projection parallèlement  à   sur   est d. d coupe (a)  en x et (a, ) en y. Traçons par x et y  les lignes de rappel perpendiculaires  à (O, ) afin d’avoir  les points correspondants de Δ. Ces lignes de rappel que l’on vient de tracer coupent respectivement  (a’, ’)  et  (a’, ’) en x’ et y’. . m’ appartient à d’ et  P. Donc m’ est la projection  de M  sur    parallèlement à  . Pour définir les autres projections m et m’’ de m il suffit de tracer par m’ la ligne de rappel perpendiculaire à (O). Elle coupe d en m. Ensuite par m on trace la ligne de rappel perpendiculaire à. Elle coupe d’’ en m’’. M(m ; m’ ; m’’) et  l’intersection cherchée de D avec P . On lit bien les coordonnées de M (3 ;2 ;3 ;4). Pour confirmer que D coupe bien P  on refait une construction semblable, mais cette fois on  trace par  x et y  les lignes  de rappel perpendiculaires à  . Elles coupent respectivement  (a’’, ’’)  et  (a’’, ’’) en  x’’ et y ‘’. L’intersection de (x’’ y’’) avec d’’ doit donner m’’. Si ce n’est pas le cas c’est que d ne coupe pas P.

 

Exemple 2.

La droite D ne coupe pas le plan P.

B(3 ;4 ;2 ;4)  (1 ;2 ;-1 ;-1). D est la droite passant par B et de direction.

A(1 ;2 ;1 ;1)  (1 ;1 ;1 ;1)  (1 ;-1 ;1 ;2) P est le plan passant par B et de vecteurs directeurs   et  .

(2 ;2 ;1 ;3). Le déterminant des 4 vecteurs vaut 7. Donc les 4 vecteurs ,,  sont  indépendants.  L’application de la règle  donne dim()=-1. Cela signifie que D ne coupe pas P. Vérifions ceci en géométrie descriptive.

Si on poursuit la construction en traçant les lignes de rappel horizontales  à partir des points x et y on ne trouve pas le point m’’ mais le point  b’’.

En perspective on a  la représentation suivante.

Par le calcul on a l’impossibilité de résoudre le système formé par les équations paramétriques de d et de P :

Pour D : x=3+m ; y=4+2m ; z=2-m ; t=3-m ;

Pour P : x=1+n+p ; y=2+n-p ; z=1+n+p ; t=1+n+2p.

 

13 Intersection de 2 plans P1 et P2

 En général on a : dim(P1)+dim(P2)-dim()=4. Donc dim()=0. Donc P1 et P2  se coupent en général en un point.

Soit le plan  P1 passant par  A(2 ;2 ;2 ;3) et de vecteurs directeurs  (1 ;-1 ;1 ;-1) (2 ;1 ;1 ;2)

Soit le plan  P2 passant par  B(4 ;5 ;3 ;4) et de vecteurs directeurs  (1 ;-2 ;1 ;1) (1 ;1 ;2 ;-1)

Notons M leur point d’intersection. On a en perspective la figure suivante.

 

Pour trouver l’intersection de ces 2 plans on résout le système formé par les équations paramétriques de ces plans :

P1: x=2+m+2n ; y=2-m+n ; z=2+m+n ; t=3-m+2n

P2 : x=4+p+q ; y=5-2p+q ; z=3+p+2q ; t=4+p-q.

On obtient un point  d’intersection : m(33/4 ; 41 /14 ; 7/2 ; 36/7).

 Montrons maintenant comment trouver géométriquement le point d’intersection.

Méthode

On sait que 2 plans dans un espace affine de dimension 3 se coupent en général selon une droite D. Pour la déterminer on coupe ces deux plans P1 et P2  par un troisième plan  Q1  dont on sait trouver les droites d’intersection avec P1 et P2 :   ;  . Alors si D1 et D2 se coupent en N, N appartient à P1 et à P2 donc à leur intersection D.

On recommence ensuite avec un deuxième plan Q2 pour obtenir 2 autres droites D3 et D4 qui se coupent en P. La droite (NP) est la droite D cherchée.

On considère P1H et P2H les projections de P1 et P2 sur l’hyperplan  H d’équation t=0 (notre espace). Trouver DH, intersection de ces 2 plans,  revient analytiquement à résoudre le  système formé par les équations paramétriques de P1H et P2H.

P1H :  x=2+m+2n ; y=2-m+n ; z=2+m+n ;

P2H : x=4+p+q ; y=5-2p+q ; z=3+p+2q ;

On obtient : x=6+6m ; y=1-9m ; z=5+7m ;

 

Géométriquement traçons d’abord les projections des 2 plans.

 

 

Ensuite on choisit le plan Q1  de direction   et passant par une droite horizontale (parallèle à  ) tracée dans le plan  O,   . Elle coupe  (a,u1) (a,v1) (b,u2) (b,v2) respectivement en i1,j1,k1,l1. Par ces points traçons les verticale de rappel qui coupent les axes (a’,u1’) (a’v1’) (a’u2’) (a’v2’) respectivement en i’1, j’1, k’1 ,l’1. Les  droites (i1’j’1) (k’1j’1) se coupent en n’’. Par n’ on trace la verticale de rappel qui coupe la droite (i1j1) de départ en n. La troisième projection n’’ du point NH cherché se trouve sur (OX) car on travaille dans l’hyperplan H . On ne le trace pas pour simplifier.  NH (n, ; n’ ; n’’) est le premier point de la droite  DH d’intersection de P1H avec P2H.

 

On recommence ensuite ce procédé pour obtenir PH , un deuxième point de DH.

Pour cela on choisit un deuxième plan Q2 parallèle au précédent dont la trace  horizontale coupe  (a,u1) (a,v1) (b,u2) (b,v2) respectivement en i2,j2,k2,l2. Par ces points traçons les verticales de rappel qui coupent les axes (a’,u1’) (a’v1’) (a’u2’) (a’v2’) respectivement en i’2, j’2, k’2 ,l’2. Les  droites (i2’j’2) et  (k’2j’2) se coupent en p’. Par p’ on trace la verticale de rappel qui coupe la droite (i2j2) de départ en p. La troisième projection p’’ du point PH cherché se trouve sur (OX) car on travaille dans l’hyperplan H . On ne la trace pas pour simplifier.  PH (p ; p’ ; p’’) est le deuxième point de la droite  DH d’intersection de P1H avec P2H.

DH  est défini par ses 3 projections (np)=d , (n’p’)=d’ et (Ox) car on est dans H.

On considère ensuite P1T et P2T  les projections  de P1 et P2  sur l’hyperplan U d’équation z=0.

Pour déterminer l’intersection DU (dU ; OY,d’U) on procède comme ci-dessus, mais on choisit deux plans R1 et R2 parallèles à   . Pour cela on trace d’abord une verticale dans le plan (O) qui coupe  (a,u1) (a,v1) (b,u2) (b,v2) respectivement en i3,j3,k3,l3. Par ces points traçons les horizontales de rappel qui coupent les axes (a’’,u1’’) (a’’v1’’) (a’’u2’’) (a’’v2’’) respectivement en i’’3, j’’3, k’’3 ,l’’3. Les  droites (i’’3’j’’3) et  (k’’l’’3) se coupent en  q’’. Par q’’’ on trace  l’horizontale de rappel qui coupe la droite (i3j3) de départ en q. La deuxième projection q’ du point QU cherché se trouve sur (OY) car on travaille dans l’hyperplan  U . On ne la trace pas pour simplifier. Le point QU(q, non tracé, q ‘’) est le premier point de la droite d’intersection de  P1T et P2T.

Pour obtenir un deuxième point  Ru de la droite Du  intersection  de P1T et P2T   on choisit un  plan R2 parallèle au précédent. Pour cela on choisit arbitrairement sa trace horizontale. On trace d’abord une verticale dans le plan (O) qui coupe  (a,u1) (a,v1) (b,u2) (b,v2) respectivement en i4,j4,k4,l4. Par ces points traçons les horizontales de rappel qui coupent les axes (a’’,u1’’) (a’’v1’’) (a’’u2’’) (a’’v2’’) respectivement en i’’4, j’’4, k’’4 ,l’’4. Les  droites (i’’4’j’’4) et  (k’’4l’’4) se coupent en  r’’. Par r’’’ on trace  l’horizontale de rappel qui coupe la droite (i4j4) de départ en r. La deuxième projection r’ du point RU cherché se trouve sur (OY) car on travaille dans l’hyperplan  U . On ne la trace pas pour simplifier. Le point RU(q, non tracé, q ‘’) est le deuxième point de la droite d’intersection de  P1T et P2T. La droite d’intersection Du cherchée est donc  Du(d1, OY, d’’1) avec d1=(qr) et d’’1=(q’’r’’).

Pour finir il ne nous reste plus qu’à prendre le point d’intersection des deux projections :d avec d1 qui nous donne m projection de M intersection des plans P1 et P2. A partir de m on trace la verticale de rappel qui nous donne avec son intersection avec d’ le point m’. De même à partir de m on trace l’horizontale de rappel qui nous donne avec son intersection avec  d’’1 le point m’’.

Le point M(m,m’,m’’) de coordonnées( 33/7 ;41/147/2 ;36/7)  est le point d’intersection des plans P1 et P2.

On voit bien en descriptive pourquoi  les deux plans ne se coupent qu’en  un point.  Il faut en effet prendre l’intersection des deux droites d et d1.


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