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Dodécaèdre

Vous pouvez faire tourner ces solides avec la souris. Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux.  

dodecaedrDodécaèdre régulier dessiné par Léonard de Vinci pour le De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli. 
 
Les 20 sommets du dodécaèdre forment 4 pentagones AiBiCiDiEi   , i variant de 1 à 4 , situés dans des plans parallèles, décalés de 36° les uns par rapport aux autres , de centres Oi alignés sur une même perpendiculaire. Comme B3C3 est le côté du pentagone étoilé construit dans le pentagone B3B2C3C4B4 le rapport des 2 côtés de ces pentagones est phi : B3C3/B4C4=phi.  
De plus par projection O3O4/O3O2=HK/KB2=phi (propriété du pentagone ).  
Donc les plans des cercles des pentagones ci dessus sont en proportion dorée. 

La grande largeur du dodécaèdre mesure phi fois le côté du pentagone des faces.

longueur du coté 

 
 
 
Si on joint les milieux des faces du dodécaèdre on obtient 3 rectangles d'or perpendiculaires entre eux.






















dodecaedre
Le dodécaèdre est un trés beau polyèdre. Il est utilisé en de nombreux objets vendus pour cadeaux,porte-bonheur,bijoux  ou mandalas.
mandala
 A votre santé !




       isocaedre                                                                    Icosaèdre régulier dessiné par Léonard de Vinci pour le De Divina Proportione de Fra Luca Pacioli.






 L'icosaèdre est régulier quand ses faces sont des triangles équilatéraux égaux entre eux. Il est inscriptible dans une sphère.
Voir aussi le Dodécaèdre
 
 
Il est formé de 2 pentagones  Ai Bi Ci Di Ei ( i=1 ou 2) décalés de 36° l'un par rapport à l'autre et parallèles, complétés par les deux points Iet J situés sur l'axe icosaedre passant par les deux centres O et O' des cercles circonscrits à ces deux pentagones. Oméga est le centre de la sphère, notons R son rayon. 
HC2=C2D2=sin(36°)=(racine(10-2racine5))/4 
Donc A1B1=2HC2=C2D2=(racine(10-2racine5))/2 
D'autre part on a : O'H=cos(36°)=(racine5+1)/2=phi/2 
O'J=JD2-O'D2=(10-2racine5)/4-1=(3-racine5)/2 . Donc O'J=OI=racine((3-racine5)/2)=(racine5-1)/2=1/phi 
Calculons maintenant le rayon R de la sphère. 
Soit h=OO'/2 Calculons de 2 façons R² 
h²+1=(h+(racine5-1)/2)² donc (racine5-1)h+(3-racine5)/2=1 
Donc h=1/2. Autrement dit OO'=1 : les deux pentagones sont distants de 1 le rayon de leur cercle circonscrit. 
R=1/2+O'J=1/2+(racine5-1)/2=racine5/2. 

icosaedreDe plus comme le montre le dessin,  l'icosaèdre est formé de 3 rectangles deux à deux orthogonaux. Ces rectangles ont pour format le nombre d'or : longueur/largeur=phi. 
L'icosaèdre est vraiment un trés beau solide.

La grande largeur de l'icosaèdre est phi fois son arète.












A l'intérieur de l'icosaèdre on observe deux pentagones parallèles mais tournés. On dit que l'on a un anti-prisme ou prisme que l'on a torsadé.



icosaèdre


Si on colore les douze pentagones déterminés par l'icosaèdre on obtient le grand dodécaèdre. Ce solide magnifique fut découvert par  Poinsot  en 1809.  C'est un polyèdre régulier qui n'est pas convexe. Il complète la série des solides platoniciens : tétraèdre,octaèdre, cube, décaèdre, icosaèdre réguliers convexes. Leur description mathématique est due à Euclide(environ  en 300 avant J.-C.). On peut interpréter la découverte par Poinsot comme l'existence d'un monde mathématique dans lequel en ce promenant on trouve de tels objets. Mais le grand dodécaèdre était bien caché puisqu'il a fallu 18 siècles pour le découvrir.
grand dodécaèdre