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PHI et FIBONACCI


fibonacciLe problème

Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci , est né à Pise vers 1180 et mort vers 1250. Son père l'initie aux calculs. Cette initiation lui fit porter un intérêt aux calculs mathématiques : il fit ses études sous la direction d'un maître arabe. En 1202 , il écrit un livre "liber abaci" qui porte sur les méthodes algébriques et des problèmes. Dans cet ouvrage, il émet l'idée que l'arithmétique et la géométrie sont liés; mais aussi il met l'accent sur les neufs symboles indous de la numération ainsi que le signe zéro. Fibonacci fut sans doute le mathématicien le plus habile de toute l'époque médiévale chrétienne.
Le problème de son livre qui a le plus inspiré les mathématiciens est le problème des lapins :
"Combien de couples de lapins obtiendrons nous à la fin de chaque mois si commençant avec un couple, chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel devient productif au second mois de son existence."
Ce problème donne lieu à la suite de FIBONACCI :
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 ; 377 ; 610 ; 987 ; 1597 ; 2584 ; 4181;   6765 ;  10946 ....
Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : Un = Un-1 + Un-2  .

lapins
Nous voyons dans la colonne de droite les premiers termes de la suite de Fibonacci.  U0=1 ; U1=1 ; U2=2 ; U3=3 ; U4=5 ....
Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent .

Propriétés  de la suite de fibonacci

Le rapport des termes consécutifs se rapproche du nombre d'or phi=1,618033989 .
2/1=2 ; 3/2=1,5 ; 5/3=1,666 ; 8/5=1,6 ; 13/8=1,625 ; 21/13=1,615 ; 34/21=1,619 ; 55/34=1,617 ; 89/55=1,6181818....
144/89=1,617977.. 233/144=1,61805...

On peut calculer le terme général Un de cette suite par la formule :  


qui sont respectivement le nombre d'or et son  inverse .


Les puissances successives de phi font intervenir les termes de la suite de Fibonacci :
formule dans laquelle "phi " est 1.618... Un  et Un-1 sont les termes d'indice n et n-1 de la suite de Fibonacci .   



Le tournesol
tournesolOn distingue des spirales sur beaucoup de végétaux comme par exemple les coeurs de tounesol , l'écorce des ananas ou bien l'écorce destournesol pommes de pin. Ce qui est étonnant, c'est que la suite de FIBONACCI et l' ANGLE D'OR se retrouvent dans ces spirales . Exemple: Une fleur de tournesol est constituée de deux groupes de spirales. Différents chercheurs l'ont expliqué par la croissance des plantes et ont utilisé des modèles informatiques et des expériences de laboratoire .
D'après les chercheurs l'apparition des spirales est basée sur l'angle d'or égal à 360°/(1+phi)=137,5°. La croissance de la plante forme deux séries de spirales tournant en sens contraire. Le nombre de ces spirales correspond dans chacun des cas  à deux termes consécutifs de la suite de FIBONACCI. Par exemple (13; 21) ou (34;55) ou (55;89) ou (89;144).

spirale de tournesol



                                                                                              Le nautile
nautileLe nautile est un coquillage dont l' intérieur présente  une spirale formée d'une douzaine de petites loges séparées les une des autres par des cloisons de nacre . Cette spirale est dite équiangulaire . Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît mais la forme du coquillage conserve la structure d'une spirale logarithmique .
La spirale de gauche  a été tracée par ordinateur . Son équation en coordonnées polaires est : r = exp(1/3.14*ln(1.618)*@) ,où r est le rayon vecteur et @ l'angle polaire .
Dans cette spirale le rapport entre deux rayons vecteurs opposés est le nombre d'or phi = 1.618 .
Le modèle mathématique se superpose exactement  à la réalité .





spirale