I

Géométrie hyperbolique

Le disque de Poincaré

La géométrie hyperbolique permet de représenter l’univers entier, infini, à l’intérieur d’un cercle. C’est le disque de Poincaré. Le cercle constitue l’horizon des habitants de dimension deux qui y vivent. Les droites, dans cette nouvelle géométrie, sont des diamètres lorsqu’elles passent par le centre O du disque, sinon ce sont des arcs de cercle faisant un angle droit avec le cercle horizon. Dans le dessin ci-dessous, la figure centrale est un carré, délimité par quatre arcs de cercle. Le triangle OAB est limité par OA et OB portés par deux diamètres et l’arc de cercle qui va de A à B.

angle hyperbolique

roue dans disque hyperbolique

Cette représentation est conforme, ce qui signifie que les angles sont représentés en vraie grandeur. Par contre la distance entre le centre O et un point M du disque est calculé par la formule : distance OM égale argument de la tangente hyperbolique de OM soit : d(OM)=0.5*logarithme ((1+OM)/(1-OM)). Lorsque M se rapproche  du bord du disque (l’horizon), OM tend vers 1, et la distance d(OM) tend vers l’infini. Un habitant partant de O, représenté par le cercle à droite ne pourra pas atteindre le bord. En se déplaçant le long du diamètre bleu, il a une distance infinie à parcourir. Un observateur extérieur le voit devenir de plus en plus petit lorsqu’il se rapproche de l’horizon.

Dans le dessin représentant le disque de Poincaré, au centre est représenté un carré qui est quatre fois le triangle OAB. Ensuite, on a tracé  en rouge ses symétriques par rapport au milieu de chacun de ses côtés, puis, en vert, leurs symétriques par rapport aux milieux de leurs propres côtés. On fabrique de cette façon un pavage du plan hyperbolique. Tous ces carrés sont égaux. Appelons a l’un quelconque de leurs angles. Il faut réunir par leur sommet cinq angles a, pour obtenir un tour complet, soit 360°. L’angle a de ce carré hyperbolique fait donc 360°/5=72°. Le triangle OAB possède un angle droit en O. Ses deux angles aigus mesurent chacun 72°/2=36°. Pour ce triangle la somme des angles fait 90°+2*36°=162°. En géométrie euclidienne, la somme des angles d’un triangle est de  180°. En géométrie hyperbolique elle fait  toujours moins. On sait que dans la géométrie euclidienne, on ne peut tracer par un point extérieur à une droite qu’une parallèle à cette droite. C’est le célèbre postulat d’Euclide. Les mathématiciens ont vainement essayé pendant vingt siècles de le démontrer jusqu'à ce que vers 1830, Nicolaï Lobatchevski et János Bolyai une géométrie qui viole ce postulat. Le mathématicien Henri Poincaré (1854-1912)  a donné son nom à ce modèle qui permet de visualiser les propriétés de cette géométrie. En particulier, par un point extérieur à une droite, on peut tracer une infinité de parallèles. Dans le dessin du disque, on a tracé,  en noir, par O, trois parallèles à la  droite  hyperbolique AB.

Le problème historique de la quadrature du cercle trouve une réponse positive dans ce modèle. Alors qu’en géométrie  euclidienne il est impossible de tracer à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné, c’est possible sur le disque de Poincaré.

Les possibilités pour réaliser des pavages avec des polygones réguliers sont beaucoup plus nombreuses en géométrie hyperboliques. Le graphiste hollandais M.C. Escher en a réalisé  de magnifiques.


 

pavage hyperbolique

pavage hyperbolique

pavage hyperbolique


Méthode pour réaliser ces pavages.

*Choisir le nombre n de côtés du polygone régulier paveur : n=4 pour un carré, n=5 un pentagone etc.

*Choisir le nombre p de ces polygones qui, réunis en un sommet, font un angle plein de 2 pi radians.
* Dans la figure suivante on a dessiné le cercle C, centré en A et de rayon r, qui détermine le premier côté du polygone paveur. Ce cercle est orthogonal au cercle de Poincaré de centre O. B est le premier sommet du polygone paveur.
cercle de poincaré
Le cerclesuivant, déterminant le second côté du polygone paveur, est obtenu en faisant tourner  le cercle C de 2*pi/n, dans la rotation de centre O. Il forme avec le cercle C un angle de 2*pi/p, et se coupent en B, le premier sommet du polygone paveur
Les autres s'obtiendront en le faisant tourner de k fois 2*pi/n.
Dans le triangle OAB, l'angle BOA fait 2*pi/n, l'angle OBA fait  pi/p+pi/2. OA²=1+r². AB=r. En appliquant la formule des sinus dans le triangle OAB on obtient :
OA/sin(B)=BA/sin(O) donc : sqrt(1+r²)/cos(pi/p)=r/sin(pi/n). Par suite r²=sin²(pi/n)/(cos²(pi/p)-sin²(pi/n)).
Cette construction n'est possible que si pi/n+pi/p+pi/2<pi soit 1/n+1/p<1/2.
Ayant r on a  A : z(A)=sqrt(1+r²).
Puis on a B, le premier sommet du quadrilatère paveur : z(B)=r*expi*(pi/2+pi/n+pi/p)+z(A).
Le milieu H du premier côté du polygone paveur est à l'intersection de C avec OA : z(H)=sqrt(1+r²)-r.
*On complète le polygone paveur en faisant tourner B et H des multiples de 2*pi/n, et le côté qui est un arc du cercle C.
*Il faut ensuite faire les symétriques du polygone paveur que l'on vient de dessiner par rapport aux milieux de ses côtés.
Pour cela on utilise les deux isométries du cercle de Poincarré suivantes :
Les translations de vecteur a  complexe qui s'écrivent : Ta(z)=(z+a)/(conjugue(a)*z+1) et de la symétrie par rapport à O : S(z)=-z.
Le symétrique  de z par rapport à  a s'écrit alors Sa(z)=Ta o S o T-a (z)
formule


La boule de Poincaré

On peut concentrer l’univers entier dans la boule euclidienne centrée en O et de rayon1. Dans cette boule, les plans sont des disques centrés en O ou des morceaux de sphères orthogonales à la sphère unité. La distance entre O et un point M est calculée comme pour le disque de Poincaré par la formule : d(OM)=0.5*ln((1+OM)/((1-OM)) qui est l’argument de la tangente hyperbolique de OM. Il en résulte que lorsque M se rapproche du bord de la boule, OM tend vers 1 et la distance hyperbolique d(OM) devient infinie. La sphère unité est donc est donc l’horizon des habitants de la boule de Poincaré, ils ne peuvent pas l’atteindre. Les polyèdres hyperboliques sont des solides limités par des portions de sphères orthogonales à cette sphère horizon. Ci-dessous, on a représenté un cube et un dodécaèdre hyperbolique.

Cube hyperboliquecube hyperbolique

Dodécaèdre hyperbolique

dodécaèdre de Poincaré


Octaèdre hyperbolique d'équations :  X=(cos(vv)3*cos(uu)3; Y=sin(uu)3;  Z=sin(vv)3*cos(uu)3;
octaèdre hyperbolique

On peut, comme dans le disque de Poincaré, paver la boule de Poincaré en construisant les symétriques de ces polyèdres par rapport aux centres des faces. On poursuit ensuite ce procédé.

Symétriques du cube central par rapport aux centres des faces

cube 1

Symétriques des cubes précédents

cube 2

Symétriques des cubes précédents

cube 3


Les possibilités de pavage avec des polyèdres réguliers sont plus nombreuses que dans la géométrie euclidienne : les cinq polyèdres réguliers, le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre, l’icosaèdre, peuvent paver la boule de Poincaré. De belles indications pour construire ces images sont données  ici : http://images.math.cnrs.fr/Une-chambre-hyperbolique.html 

Explications pour construire ces pavages.
Le procédé est semblable au précédenr. Les cercles orthogonaux au disque de Poincarré sont remplacés par des sphères orthogonales à lasphère de Poincaré. Ces sphères définissent les faces des polyèdres paveurs. Le nombre n de faces définit ce polyèdre : n=4 pour le cube, n=12 pour le dodécaèdre, n=20 etc.
On a alors le problème de trouver le centre A et le rayon r de la sphère définissant la première face du polièdre paveur. Notant B un de ses sommets et H le centre de cette face, la coupe selon le plan OBH donne la figure suivante.
sphère de poincaré
Dans ce dessin,  alpha désigne l'angle entre les deux sphères consécutives définissant deux faces du polyèdre pavant. L'angle au centre BOA, est le demi angle central correspondant . L'angle BOA vaut (pi-alpha)/2. Si p désigne le nombre de polyèdres se rejoignant le long d'une arète (= un arc de cercle), on a la condition pi/p<alpha/2. Le calcul du rayon r=AH de la sphère délimitant la face initiale du polyèdre pavant est le même que précédemment  : r²=sin²(pi/n)/(cos²(pi/p)-sin²(pi/n)).
Une fois constitué le polyèdre pavant, on fait ses symétriques par rapport aux centres de chaque face.
Pour cela on utilise la symétrie par rapport à O définie par S(M)=-M, M étant un vecteur quelconque de la boule unité: M(x,y,z) avec x²+y²+z²<1.
On définit comme précédemment une translation dans la boule unité Tb pour b et M étant deux vecteurs (ou deux points )de la boule de Poincaré.
formule. Dans cette formule b.M désigne le produit scalaire de b par M.
La symétrie par rapport au milieu b d'une face s'écrit alors Tb o S o T -b .
On pousuit ce procédé à partir des nouveaux polyèdres obtenus.

Ll



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