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Hyperobjets

1.Hypercube

hypercube

C'est la figure la plus connue d'un hyperpolyèdre de R4. Dans R3 les polyèdres ont pour faces des polygones. Les faces d'un cube sont des carrés. Voici le développement d'un cube.

développement d'un cube

En dimensions 4 les hyperfaces d'un hypercubes sont 8 cubes. Le développement d'un hypercube est présenté dans l'animation suivante.

développement d'un hypercube

On a représenté seulement 7 cubes parmi les 8. Les cubes sont déformés par la perspective de R4 vers R². 

 Il manque  le cube de devant. Voici le développement  complet de l'hypercube :

développement de l'hypercube

Pour refermer l'hypercube on fait tournner chaque cube de son développement autour de la face du cube auquel il est attaché.

Pour avoir le programme povray correspondant m'écrire à: email: huck.phil15@gmail.com.








En faisant tourner l'hypercube autour d'un plan on s'apperçoit que le petit cube qui semblait à l'intérieur du grand n'y est pas. Les 8 cubes de l'hypercube sont tous égaux et constituent le bord de l'hypercube. Ils semblent collés mais en fait ils ne sont  collés que par une face.

rotation de l'hypercube

La quatrième dimension passionnait le peintre Salvador Dali comme vous pouvez le voir dans son célèbre tableau la Crucifixion.

crucifiction de Dali

Vous reconnaissez dans la croix le développement d'un hypercube.

Pour obtenir un hypercube il suffit de déplacer un cube de notre espace d'une longueur d'arète dans la  quatrième dimension.

Voici les 8 sommets d'un cube placés dans notre espace: la quatrième coordonnée est 0.

#declare p[0]=<0,0,0,0>; //sommet 0
#declare p[1]=<1,0,0,0>; //sommet 1
#declare p[2]=<0,1,0,0>;//sommet 2
#declare p[3]=<1,1,0,0>; //sommet 3
#declare p[4]=<0,0,1,0>;//sommet 4
#declare p[5]=<1,0,1,0>; //sommet 5
#declare p[6]=<0,1,1,0>;  //sommet 6
#declare p[7]=<1,1,1,0>; //sommet 7

Pour avoir les 8 suivantes il suffit de remplacer la dernière coordonnée par 1.

#declare p[8]=<0,0,0,1>; //sommet 8
#declare p[9]=<1,0,0,1>; //sommet 9
#declare p[10]=<0,1,0,1>;//sommet 10
#declare p[11]=<1,1,0,1>; //sommet 11
#declare p[12]=<0,0,1,1>;//sommet 12
#declare p[13]=<1,0,1,1>; //sommet 13
#declare p[14]=<0,1,1,1>;  //sommet 14
#declare p[7]=<1,1,1,1>; //sommet 15

Voir l'intéieur de l'hypercube n'est pas facile. Essaions quand même. Si on coupe un cube par des plans parallèlement à une face on obtient un carré.  L'union de tous les carrés obtenus en faisant varier le plan nous donne le cube. Faisons de même en coupant l'hypercube par un hyperplan parallèle à une hyperface. on obtient un cube. En faisant varier l'hyperplan , l'union des cubes obtenus nous donne l'hypercube.

intérieur d'un hypercube

En changeant de point de vue, on a l'animation suivante : 

interieur hypercube
On a encore une meilleure idée de l'intérieur de l'hypercube en le remplissant. On a une suite d'hyperpavés dont la hauteur varie de 0 jusqu'au côté de l'hypercube quand il est rempli entiérement.
remplissage de l'hypercube
Voyageons vers le centre de l'hypercube.
voyage dans l'hypercube
Video
L'hypercube est inscrit dans une hypersphère. Nous avons tracé une hélice sur cette hypersphère.
hélice circonscrite à l'hypercube
L'hypercube avec les deux sphères circonscrites à deux faces cubiques :
sphères circonscrites

2.Hypertétraèdre

4 points non colpanaires forment un tétraèdre. Si nous ajoutons un cinquième point non situé dans l'hyperplan des quatre premiers points  nous obtenons un hypertétraèdre. Il a 5 sommets, 10 arètes,  5 tétraèdre qui sont ses hyperfaces.

Ci dessous est représenté le développement de l'hypertétraèdre. On n'a dessiné que 4 des 5 tétraedres du développement.3 tournent autour des faces du tétraèdre bleu qui reste fixe.

développement hypertétraèdre

3. Hypersphère S3.

L’hypersphère de centre O et de rayon r a pour équation x²+y²+z²+t²=r. Si on pose t=r*sin(u) on obtient  x²+y²+z²=r²*(1-sin²(u))=r²cos²(u). C’est la sphère  de centre o1(0,0,0,r*sin(u) et de rayon r*cos(u) dans l’hyperplan  d’équation t=r*sin(u). En posant z=rcos(u)sin(v) on obtient x²+y²=r²cos²(u)-r²cos²(u)cos²(v)=r²cos²(u)cos²(v). C’est le cercle de centre o2 (0,0,rcos(u)cos(v)) dans le plan passant par o2 et de direction  vecteur (i), vecteur(j). On pose alors y=rcos(u)cos(v) sin(w) et on obtient x²=r²cos²(u)cos²(v)r²cos²(u)cos²(v)sin²(w)=r²cos²(u)cos²(v)cos²(w).

Donc un système d’équations paramétriques de l'hypersphère  est :

X=r*cos(u)cos(v)cos(w)

Y=r*cos(u)cos(v)sin(w)

Z=r*cos(u)sin(v)

T=r*sin(u)

Pour tracer l’hypersphère il suffit donc de tracer plusieurs sphères pour quelques valeurs de t en dessinant de nombreux parallèles sur chaque sphère.

Ce qui nous donne en langage povray : #declare k=0.02;

 #declare l=0.1;

 #declare k=0; 

 #while (k<6.28)

 #declare j=0;

 #while  (j<6.28)

 #declare i=0;

 #while(i<6.28)

 #declare  p[0]=2*cos(i)*cos(j)*cos(k);

#declare p[1]= 2*sin(i)*cos(j)*cos(k); 

#declare p[2]= 2*sin(j)*cos(k); 

#declare p[3]=2*sin(k);

#projection (p[0],p[1],p[2],p[3]);

 #declare q=<X,Y,Z>;

  sphere{q,r1 pigment{ color Blue transmit 0.98}  }

  #declare i=i+0.01;

  #end         

  #declare j=j+0.1;

  #end      

  #declare k=k+1;

  #end                       

 

 On n'antracé que 4 shères. Il y en a en fait une infinité, de la même façon qu'une sphère est formée d'une infinité de cerles, les parallèles

On peut aussi tracer un courbe tracée sur l’hypersphère en n’utilisant qu’un paramètre.

Par exemple :

#declare r1=0.01;

#declare k=0; 

#declare j=0;

#declare i=0;

 #while (i<628)

 #declare j=0.01*i;

 #declare k=j;

 #declare  p[0]=2*cos(i)*cos(j)*cos(k);

#declare p[1]= 2*sin(i)*cos(j)*cos(k); 

#declare p[2]= 2*sin(j)*cos(k); 

#declare p[3]=2*sin(k);

#projection (p[0],p[1],p[2],p[3]);

 #declare q=<X,Y,Z>;

 #sphere{q,r1 pigment{ color Blue transmit 0.8}  }

 #declare i=i+0.01;

 #end                                      


Dessin  obtenu  en traçant une  hélice sur l'hypersphère

Pour une sphère on a une hélice sphèrique:


hélice sphèrique   

Voici 3  dessins de pelures de l'hypersphère.


hyper pelure 1


hyper épluchure

superhélice

Une autre façon de représenter l'hypersphère est de dessiner l'hypericosaèdre  inscrit. Ses 120 sommets forment 720 arêtes, 1200 triangles équilatéraux, 600 tétraèdres réguliers. Il appoche vraiment l'hypersphère. Les sections successives de l'hypericosaèdre, inscrit dans l'hypersphère de centre O et de rayon 2, par des hyperplans parallèles donnent les solides suivants:

Pôle nord de coordonnées (2,0,0,0) en jaune.

Dans l'hyperplan d'équation X=1,618 =le nombre d'or on obtient l' icosaèdre nord : 30 arêtes de longueur a=2/1,618=2/le nombre d'or formant 20 triangles isocèles en rouge.

Dans l'hyperplan d'équation X=1 on a le dodécaèdre nord : 30 arêtes de longueur a formant 12 pentagones en bleu.

Dans l'hyperplan d'équation X=1/1,618=1/le nombre d'or on trouve l'icosaèdre tropical nord d'arête a*1,618 donc plus grand que l'icosaèdre nord. Ce sont les sphères en violet.

Si on coupe l'hypericosaèdre par son plan équatorial d'équation X=0, on obtient un solide semi régulier. C'est l'icosidodécaèdre ou dodécaèdre tronqué : 60 arêtes de longueur a formant des pentagones réguliers ou des triangles équilatéraux en vert.

Par symétrie autour de l'hyperplan équatorial on aura l'icosaèdre tropical sud, suivi du dodécaèdre sud suivi de l'icosaèdre sud (non représentés sur le dessin), et finalement le pôle sud (-2,0,0,0),( la boule noire sur le dessin).

hypertétraèdre
Programme povray correspondant.

Dans le dessin suivant on a recouvert l'hypersphère de triangles.


hypersphère


 S3 est formé d’une infinité de sphères dont les rayons varient de 0 à 1. Elles sont formées des intersections de S3 avec les hyperplans d’équation T=k pour k variant de -1 à 1. Ainsi une hypersphère traversant notre espace donnerait une boule de rayon 0, puis ce trayon grandirait jusqu’à 1 pour décroître. Finalement la sphère disparaîtrait. 




















4 Fibration de Hopf

Une autre manière de paramétrer  S3 par des cercles est la fibration de Hopf.  Tout quaternion q de S3 s’écrit q=z1+jz2 avec z1 et z2 qui sont des complexes vérifiant |z1|²+|z2|²=1. Si on représente l’ensemble C nombres complexes par une droite pour simplifier le dessin, bien que  ce soit un plan, on a la figure suivante.

cercle unité

Pour un complexe    donné (t2 dans R+ , t3 dans [0 2pi]) le plan  d’équation Z2=aZ1 coupe l’hypersphère S3 en 2 grands cercles. Pour obtenir les équations de ces cercles il suffit de résoudre le système :    avec les écritures  et  on obtient :    et finalement 

   et  . Comme  q=z1+jz2 on obtient  les coordonnées  paramétriques d’un des cercles d’intersection pour  t2 dans R+  et  t3 dans [0, 2pi] fixés :

Ce cercle est un cercle de Hopf. Il suffit de faire varier a, donc les 2 paramètres  t2 dans R+ , t3 dans [0, 2pi], pour les avoir tous .

 

Avec la projection habituelle on a le dessin  de S3 paramétré par les cercles de Hopf  :


fibration de hopf

En géométrie et en cartographie, on utilise la projection stéréographique pour représenter une sphère sur un plan. On projette à partir du pôle nord sur le plan tangent au pôle sud.

. Dans cette projection, un cercle ne passant pas par le pôle nord est transformé en un cercle dans le plan .

projection stéréograpique

Avec la projection stéréographique, la fibration de Hopf de l' hypersphère donne le dessin suivant :

projection stéréographique de la fibration
4. Hypercylindre
Un cylindre est obtenu en déplaçant un cercle suivant son axe. Un hypercylindre est généré par le déplacement d'une sphère en suivant la quatrièmedimension orthogonale à notre espace en son centre. Ses équations paramétriques sont : x=r* cos(i)*cos(j); y=r*sin(i)*cos(j); z=r*sin(j); t=k;
hypercylindre
5. Hypercône.
Un cône est obtenu en diminuant le rayon d' un cercle lors de son déplacement suivant son axe. De façon analogue, pour obtenir un hypercône, il faut déplacer une sphère suivant la droite orthogonale  à l'espace 3d quelle détermine et passant par son centre. Mais dans ce mouvement il faut réduire son rayon à vitesse s constante. Les équations paramétriques d'un hypercône sont :
x=k*s*cos(i)*sin(j) ; y=k*s*sin(i)*sin(j) ; z=k*s*cos(j) ; t=k;
hypercone
6 Duoprisme

Duoprisme

En dimension 4 un duoprisme est un polytope résultant du produit cartésien de deux polygones P1 et P2. Ceci s'écrit mathématiquement : 

Dans cette écriture P1 est l'ensemble des cordonnées des sommets d'un polygone, P2 aussi. Par exemple P1= P2 est formé des sommets d'un triangle équilatéral. 

Un tel duoprisme est appelé duoprisme3,3. Il est limité par 6 prismes triangulaires.

duoprisme33

En général un duoprime m,n est le produit cartésien d'un polygone P1 à m côtés par un polygone P2 à n côtés. Il est limité par m prismes dont les base sont des polygones à m côtés, et n prismes dont les bases sont des polygones à n côtés. Voici par exemple un duoprisme 5,5.

duoprisme55

Si on choisit des polygones réguliers P1 et P2 on si augmente le nombre de leurs côtés le polytope obtenu est proche d'un duo cylindre.


duocylindre

7 Bouteille de Klein en dimension 4

 Le ruban de Moebius a une seule face et un seul bord.

moebius

Ses équations   sont :
x=(2+u*cos(v/2))*cos(v)
y=(3+u*cos(v/2))*sin(v)
z=u*sin(v/2)

Video du ruban de Moebius : 

http://www.youtube.com/watch?v=WJZgFBEdhbc&feature=relmfu
La bouteille de Klein est une surface de R4 qui a une seule face.En dimension 3 la bouteille de Klein se coupe elle même.

bouteille de klein

En dimension 4 elle ne se recoupe pas. Mais quand on la dessine on dirait qu'elle se recoupe. Cela est du à la projection de la dimension 4 vers la dimension 2.
Ses équations sont :
x=sin(u)*(1+cos(u/2)*sin(v)*e)
y=cos(u)*(1+cos(u/2)*sin(v)*e)
z=e*cos(v)
t=e*sin(u/2)*sin(v)
e est son épaisseur. 0<u<2*pi ; 0<v<2*pi
Vidéo montrant la transformation d'un ruban de Moebius en une bouteille de Klein :
http://www.youtube.com/watch?v=2TeyUZoegt8&feature=context-cha

 Ci-dessous le dessin classique de la bouteille de Klein
klein bottle 3d
Si on déplaceson goulot selon la quatrième dimension (othogonalement aux 3 autres) l'auto intersection de la bouteille disparait. En 4d la surface n'est pas orientable, mais ne se recoupe pas.
bouteille de Klein 4d
Cliquez ici pour obtenir le programme povray.
L'adresse du film correspondant est : http://www.youtube.com/watch?v=-6DQUq_jWdc
8 Bande de Lawson
Cette surface de a été découverte par Blaine Lawson en 1969. C'est un genre de bouteille de Klein qui a un bord parfaitement circulaire.
sudanese
Ses équations sont :
x=sin(u)*cos(v)
y=sin(u)*sin(v)
z=cos(u)*cos(v/2)
t=cos(u)*sin(v/2)
0<u<pi ; 0<v<2*pi
Comme x²+y²+z²+t²=1 cette surface est contenue dans l'hypersphère
S3.
Video de cette surface : http://www.youtube.com/watch?v=O7-fg_CudJU
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