Polyèdres

"Les pyramides d'Egypte sont les plus anciennes bibliothèques."               Antoine de Rivarol

Les polyèdres réguliers convexes sont connus depuis l’antiquité. Il y en a cinq : le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, le dodécaèdre et l’icosaèdre.

Le cube

Qui n'a pas joué avec des cubes dans son enfance. En joignant les sommets de deux diagonales de faces opposées d'un cube on obtient un tétraèdre régulier. Ses côtés sont les diagonales de faces du cube. En prenant les milieux des côtés du tétraèdre obtenu, qui sont aussi les centres des faces du cube, on obtient un octaèdre régulier.

tétraèdre dans un cube
Tétraèdre régulier dans un cube
octaedre
Octaèdre

En plaçant sur chaque arète de l'octaèdre un point qui le divise dans la proportion dorée, on obtient un icosaèdre régulier.

icosaèdre sur octaèdre
Icosaèdre dans l'octaèdre
animation
cube+tétraèdre+octaèdre+icosaèdre

tous les polyèdres
Tous les polyèdres réguliers dans le cube
développement du cube
Développement du cube

Téléchargez le programme povray pour avoir les coordonnées des polyèdres inscrits dans le cube.
Le cube peut être transformé en dodécaèdre en lui collant sur chaque face le polyèdre jaune ci-dessous qui a la forme d'un toit. Si le cube a pour côté phi=phi, le toit est formé de deux triangles d'or de côtés 1,1,phi et de deux trapèzes isocèles de côtés 1, 1, 1 phi .Ce qui est extraordinaire, c'est que le cube se retourne en dévoilant le dodécaèdre caché sur ses faces et réciproquement.
toit
Six toits de ce type  mis sur les faces d'un cube donnent un dodécaèdre
cube vers dodécaèdre
Cube vers dodécaèdre

L'octaèdre
L'octaèdre est le dual du cube. Il est formé de 8 triangles équilatéraux et 6 sommets. Ces triangles équilatéraux forment deux pyramides à bases carrées soudées par leurs bases. On peut l'obtenir en joignant les centres des faces d'un cube.
octaèdre
Octaèdre dans un cube
cube dans octaèdre
Cube dans un octaèdre
développement de l'octaèdre
Cube caché dans un octaèdre
cube dans octaèdre
Cube caché dans un octaèdre

L'octaèdre tronqué
Comme nous le voyons dans l'animation précédente l'octaèdre ne peut pas en se retournant être entiérement contenu dans le cube inscrit. Nous allons donc couper tous ses sommets au tiers de l'arête. Nous obtenons l'octaèdre tronqué. Il a 24 sommets, 36 arêtes. Il est formé de 8 hexagones réguliers et 6 carrés. Le cube précédent est toujours inscrit à l'intérieur, mais il est mal placé. On peut iscrire un parallélépipède qui passe par ses sommets comme nous le voyons dans le dessin ci-dessous.
octaèdre tronqué à partir de l'octaèdre
Troncature de l'octaèdre
parallélépipède dans octaèdre
Parallélépipède inscrit dans l'octaèdre tronqué
développement octaèdre tronqué
Développement de l'octaèdre tronqué
retournement de l'octaèdre tronqué
Retournement de l'octaèdre tronqué
 L'octaèdre tronqué pave l'espace.
pavage

Le dodécaèdre

Le dodécaèdre possède 12 faces pentagonales égales, il a 20 sommets. Si on joint les milieux des faces du dodécaèdre on obtient 3 rectangles d'or perpendiculaires entre eux.

verres cur un dodécaèdre
Dodécaèdre

rectangles or dans dodécaèdre
Trois rectangles d'or dans un dodécaèdre

On peut inscrire un cube dans le dodécaèdre. Ceci nous permet de retourner le cube en dodécaèdre.

cube dans dodécaèdre
Cube inscrit dans un dodécaèdre
développement du codécaèdre avec le cube inscrit
Développement du dodécaèdre avec le cube inscrit
 

A partir du point d’intersection de la normale au centre d’une face avec la sphère traçons  les triangles s’appuyant sur les côtés de cette face on obtient une sorte de calotte. Réitérons ce procédé pour chaque face. On obtient un solide formé de triangles isocèles égaux, très proche de la sphère. On l'appelle géode.

géode

Géode

univers

Représentation de l'univers par  Jeff Weeks : weeks@geometrygames

 

 

Le dodécaèdre était considéré comme le symbole de l'univers. Dans les théories astrophysiques récentes,  l'univers aurait la forme d'un dodécaèdre.

Selon des astrophysiciens français et le mathématicien américain qui ont publié leur modèle dans la revue Nature, la forme de l'Univers  ressemble à un dodécaèdre  Un corps sortant par une des 12 faces entre par la face opposée en tournant d'un angle de 36°. Dans un tel univers les faces sont comme des miroirs. Un observateur extraterrestre voit ainsi plusieurs images de la terre.

 

Le dodécaèdre rhombique


Le dodécaèdre rhombique est un solide quasi régulier. Ses 24 arêtes  sont égales, ses 12 faces sont des losanges égaux. Il peut être dessiné à partir d'une croix formée de 7 cubes : on colle six cubes égaux sur les faces d’un septième. Ensuite, pour chaque cube, placé autour du cube central, on joint son centre aux 4 sommets du cube central auquel il est collé. Il est un des 9 polyèdres uniformes.

développement du dodécaèdre rhombique
Développement du dodécaèdre rhombique sur le cube
cube vers rhombe
Du cube au dodécaèdre rhombique


rhombique et cube
Dodécaèdre rhombique dans une croix
dodécaèdre rhombique
Dodécaèdre rhombique


Le solide en forme de croix est le développement d'un hyper cube  auquel on a enlevé un cube.
Le dodécaèdre rhombique était déjà connu par Archimède, car on le rencontre dans des cristaux naturels de grenat. Il a la propriété  de paver l'espace.
pavage par dodécaèdres rhombiques
Le grenat est souvent considéré comme une pierre sacrée ayant des pouvoirs de guérison

L’icosaèdre

Il est formé de vingt triangles équilatéraux, il a 12 sommets 30 arêtes. Si on joint les sommets adéquats on obtient  trois rectangles d'or perpendiculaires. Si on joint les centres des faces d'un dodécaèdre régulier on obtient un icosaèdre régulier. On dit que le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux


icosaèdre
Icosaèdre avec trois rectangles d'or inscrits
dual du dodécaèdre
L'icosaèdre et le dodécaèdre sont duaux

 

A l'intérieur de l'icosaèdre on observe deux pentagones parallèles mais tournés. On dit que l'on a un anti-prisme (ou prisme que l'on a torsadé). Si on prend pour coordonnées des 12 sommets de l'icosaèdre les triplets
(+/-fi ,  +/- 1 ,0) , (+/-1 , 0 ,+/- fi ) , (0 , +/- fi ,+/- 1) , les  3 rectangles suivants suivaants qui ont leurs petits côtés comme arêtes de l'icosaèdre sont des rectangles d'or. fi=nombre d'or

Sommets dans le plan xoy : a0=(fi,1,0) , a1=(fi,-1,0) , a2=(-fi,-1,0) , a3=(-fi,1,0).

Sommets dans le plan yoz : a4=(0,fi,1) , a5=(0,fi,-1) , a6=(0,-fi,-1) , a7=(0,-fi,1).

Sommets dans le plan xoz : a8=(1,0,fi) , a9=(-1,0,fi) , a10=(-1,0,-fi) , a11=(1,0,-fi). L'arête de l'icosaèdre a pour longueur 2.

On peut tracer les anneaux de Borromée autour des rectangles d'or inscrits dans l'icosaèdre.

Ces anneaux sont entrelacés. On ne peut pas les séparer sauf en en sciant un. Ils sont alors séparables


pentagones dans icosaèdre
Deux pentagones dans l'icosaèdre
anneaux de Borommée et icosaèdre
Un icosaèdre dans les anneau de Borromée

 L'icosaèdre peut étre inscrit dans un cube dont les faces contiennent les petits côtés des rectangles d'or définis par l'icosaèdre. En traçant l'homothétique de ce cube dans l'hompthétie de rapport le tiers du nombre d'or on obtient un cube inscrit à l'intérieur . Les sommets de ce cube sont sur le centre de certaines faces de l'icosaèdre. Avec les coordonnées précédentes les coordonnées du  cube circonscrit sont : (+/-fi,+/-fi,+/-fi). Celles du cube inscrit sont alors : fi/3*(+/-fi,+/-fi,+/-fi).

cubes inscrits et circonscrits à l'icosaèdre cube dans icosaèdre

Si on colore les douze pentagones déterminés par l'icosaèdre on obtient le grand dodécaèdre. Ce solide magnifique fut découvert par  Poinsot  en 1809.  C'est un polyèdre régulier qui n'est pas convexe. Il complète la série des solides platoniciens : tétraèdre, octaèdre, cube, décaèdre, icosaèdre réguliers convexes. Leur description mathématique est due à Euclide (environ  en 300 avant J.-C.). On peut interpréter la découverte de  Poinsot comme l'existence d'un monde mathématique dans lequel en se promenant on trouve de tels objets. Cela correspond au monde des idées défendu par Platon. Mais le grand dodécaèdre était bien caché puisqu'il a fallu 18 siècles pour le découvrir.

 poinsot

 

 

 

La grande pyramide

C'est la plus connue des sept merveilles du monde.

Pour la pyramide de Khéops le rapport entre l’apothème SH= x et le demi-côté  HA=a est égal au nombre d'or  phi soit 1,618... (x/a=phi).
Selon Hérodote la pyramide de Khéops de base carrée, dont les surfaces latérales sont des triangles isocèles, possède la propriété suivante : «Les surfaces latérales triangulaires ont une aire égale à celle du carré construit sur la hauteur de la pyramide»
Ces deux données sont équivalentes.
On a aussi : le rapport de la hauteur h au demi côté a est la racine carrée de phi ( h/a = rac(phi)).
Il est extraordinaire qu'alors la hauteur h de la pyramide soit pratiquement le rayon du cercle de longueur égale au périmètre de la base. C'est sans doute cette propriété géométrique qui a déterminé la construction géométrique de la hauteur : on peut la construire sans connaître très précisément pi à partir du roulement d'un cercle de diamètre donné (par exemple la coudée) le long du carré de base.


kéops
La grande pyramide
kéops
Vue géométrique de la grande pyramide


Autrement dit 4/pi=racine (phi) au deux millième près est contenu dans la grande pyramide. Les égyptiens ne connaissaient pas phi ni pi très précisément mais ils en avaient sans doute des valeurs approchées assez précises ce qui est déjà fabuleux !
En effet SO=h=147m ;  AH=a=230m/2=115m. Ce sont les dimensions mesurées de la grande pyramide. 
Avec le théorème de Pythagore nous obtenons SH²=x²=h²+a²  D'où apothème =x=SH=187m  donc x/a=1.6=phi (environ). 
La surface d'une face triangulaire SAB est : ax 
La surface du carré construit sur SH est : h²=x²-a² 
Or la propriété fondamentale de phi est d'être solution de X²-X-1=0 
Donc (x/a)²-x/a-1=0  . Par conséquent x/a=(x/a)²-1 . En multipliant les deux membres par a² nous obtenons : 
ax=x²-a²  c'est à dire ax= h² ou encore la surface d'une face SAB est égale à la surface du carré construit sur la hauteur SO
Ce qui est bien la propriété de Hérodote.

Regardons le lien entre pi=3,14 et la pyramide.

Calculons le rayon du cercle de périmètre égal au carré de base de la pyramide soit 8a /2pi=4a/pi=1,27a=220coudées*1,27=279,4 coudées

soit environ la hauteur de la pyramide.

L'angle SHO d'une face de la pyramide avec l'horizontal est alors défini par : 

tangente(SHO)=h/a=racine (phi)=1,27... soit SHO=52° environ.

 

 

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