IntroductionMerveilles / Géométrie en 4D / Surfaces minimales / Quaternions  / Fractal  / Ensembles paradoxaux /Fibrations/ Fonctions complexes/ Géométrie hyperbolique /Les abeilles/   le nombre d'or Compte-gouttes    /     Rings   / Galerie / Me contacter


Proportions
  Le pentagramme
  On pense que c'était le signe de ralliement des Pythagoriciens. Le pentagramme était considéré par les anciens comme un symbole universel de perfection et de beauté. On le retrouve dans des créations rtistiques, sur certaines monnaies, dans les pentagrammerosaces des cathédrales, sur des drapeaux et les insignes de certaines sectes.

 Les triangles d'or
Ce sont des triangles dont le rapport des longueurs des cotés est phi=le nombre d'or.
Il y en a deux :  

     

Dans le cas 1 : BC/AB=phi=1,618.  Dans le cas 2 : AB/BC=phi=1,618.
 
     

Si l'on prend le triangle 2 et que l'on coupe ce triangle par une bissectrice, on obtient 2 nouveaux triangles; ce sont encore des triangles d'or. On dit que l'un est le gnomon de l'autre.
Ce processus peut se répéter, les triangles deviennent de plus en plus petit et semblent s'enrouler autour d'un point limite. Ce point est à l'intersection de la médiane CM du triangle ABC et de la médiane DN du triangle BCD.    

 Phi et le pentagone
Propriété 1 : Le côté du pentagone étoilé est phi fois le côté du pentagone convexe.
    AB/AD=phi=1,618 (le nombre d'or)
Dans le triangle isocèle OCB les angles à la base sont égaux. Donc l'angle OBC=1/2(180°-72°)=54°. De même pour le triangle isocèle BOD. Donc DBO=54°. Donc DBC=108°.
Par conséquent DB=BC et DBC=108°, donc le triangle DBC est un triangle d'or de type 1. Il s'en suit d'après la propriété de ce type de triangle que : DC/BC=phi=1,618=le nombre d'or.

propriété 2 : Chacun des 5 cotés partage 2 autres cotés selon le nombre d'or.
    Dans le triangle ABC (BC) est parallèle à (IJ). D'après le théorème de Thalès on a donc : AB/IA=BC/IJ . Donc AB/BC=IA/IJ .D'après la propriété 1 : AB/BC=phi donc IA/IJ=phi . Or IJ=IK . Donc on a aussi : IA/IK=phi puis en projetant sur (AC) AH/HC=phi .A,I et K forment un division dorée (A , H et C aussi).
D'après la propriété fondamentale de la division dorée on a aussi AK/AI=phi. Donc un coté du pentagramme est partagé par le petit pentagone selon le nombre d'or.


  Spirale dans le rectangle d'or :
spirale d'orSi on construit à l'intérieur un carré, le nouveau rectangle obtenu à l'intérieur du premier, a toujours le format d'or : phi.  Le processus peut donc se poursuivre. Il suffit alors de tracer les quarts de cercles définis par les carrés sucsessifs pour obtenir une spirale. Si on note a la longueur du premier arc de cercle, le deuxième voit sa longueur réduite par phi. Cette longueur est a*(racine(5)-1)/2 et ainsi de suite. La longueur de la spirale au bout de n itérations de ce processus est  donc:  

L=a*(1+t+t²+....tn)=a*(1-tn+1)/(1-t) d'après la formule sur les suites géométriques. Ici la raison t de cette suite qui est le facteur de réduction qui permet de calculer les longueurs des quarts de cercles sucsessifs est : t=1/phi=(racine(5)-1)/2=0,618. En passant à la limite on obtient L=a/(1-t)=2a/(3-racine(5)). On a ici un exemple simple de ligne infinie mais de longueur finie.














Pavage de Penrose
En regroupant deux triagles d'or du même type on obtient  une flêche et un cerf-volant.
flêche et cerf-volant
Ces deux figures réunies forment un losange qui pave le plan régulièrement.
pavage
Ces deux figures permettent aussi de paver le plan de manière semi-régulière. C'est le mathématicien et physicien Roger Penrose qui a découvert ce procédé en 1970.
pavage de Penrose
deflation


Pentagones emboités


Le pentagone fournit de la même façon très naturellement une suite de pentagones emboités.











Cette animation nous donne l'idée de l'infini.
descente infinie
Rosace
Dans nos églises et cathédrales nous pouvons admirer de magnifiques rosaces. Nombreuses sont celles qui sont construites à partir du nombre trois. Elles sont dites trilobées. Le nombre trois symbolise la trinité : Dieu, le fils et le saint esprit.  D'autres rosaces, tout aussi nombreuses, font référence au chiffre quatre, comme le quatre-feuille. Elles rappellent la croix, les quatre points cardinaux, donc le terrestre. La combinaison  du 4 et du 3 donne des rosaces à douze pétales, faisant ainsi référence aux douze apôtres, aux douze mois de l'année ... Certaines rosaces sont construites à partir de la division en cinq du cercle. Le pentagone et ses propriétés liées au nombre d'or sont sous-jacents. Le nombre cinq est signe d'harmonie, de  l'homme avec ses cinq sens, combiné avec le trois  il place l'homme face au divin : le microcosme par rapport au macrocosme.
rosace
rosace cathedrale strasbourg

Cette grande rose est située  sur la façade principale de la cathédrale de Strasbourg, au dessus du portail central. Elle mesure 15 mètres de diamètre . Elle possède 4 fois 4 soit 16 pétales. Au bord nous reconnaissons la rose à cinq pétales, ainsi qu'aux quatre coins du carré extérieur et au centre.
Le trois se trouve présent à la circonférence. Ainsi l'homme (associé au 5) se trouve placé au centre du monde ( le 4) face à son destin mais éclairé par la divinité (le 3).
 La construction de cette cathédrale s'est étendue de 1276 à 1439.
notre dame
Rose à 5 pétales située à Notre Dame de Paris.
Dans la modeste chapelle de Saint Simon(Cantal) on retrouve le pentagone sur ce vitrail :
vitrail de st simon

De nombreuses fleurs sont de forme pentagonales. La nature aime la beauté.

mauve Comme cette mauve.
primevereCette primevère.
pervenche Ou cette pervenche.
  Le compas de proportions
compas de proportionGrâce au compas de proportion, on peut multiplier n'importe quelle longueur par le Nombre d'Or. Cette animation permet de s'en rendre compte. Si on le règle sur 1,6 on multiplie un segment donné par le nombre d'or.


















  Notre Dame Du Port (Clermont Ferrand)

notre dame

L'architecte médiéval et ses aides ont pu utiliser un cordeau et des piquets pour tracer le plan au sol. 
Sur ce plan, on a surligné de jaune le carré du transept. 
"a" est la demi-diagonale du carré. 
Les différents rayons tracés à partir du centre du carré du transept ont pour longueurs successives : "a" multiplié par "Phi" (qui représente le nombre d'Or), "a" multiplié par "Phi" au carré, "a" multiplié par "Phi" au cube, "a" multiplié par "Phi" à la puissance 4. 
Autrement dit, on passe de l'un à l'autre en le multipliant par le Nombre d'Or : 1,618. 
Mathématiquement, on dit qu'ils sont en progression géométrique.