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Quaternions

On peut munir l’espace R4 avec la base , , ,   des opérations habituelles .On identifie l au nombre réel 1 pour avoir l’élément neutre de la multiplication et on n’écrit pas les flèches sur les vecteurs pour simplifier

L'ensemble des quaternions de la forme s'identifie aux nombres réels. Ils sont appelés scalaires ou réels.

Les quaternions de la forme , forment un espace vectoriel tridimensionnel, identifié à , par identification des bases . On les appelle quaternions purs, quaternions vectoriels, ou par abus de langage, vecteurs.

Tout quaternion q se décompose en une somme d'un réel et d'un vecteur , appelées partie scalaire (ou réelle) et partie vectorielle de q. Cette décomposition est unique.

Addition

La somme de deux quaternions et , est définie  par:Q + Q' =(a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k = (a+a') +vect(v)+vect(v')

Cette addition fait de H un groupe abélien (commutatif).

Son élément neutre est et l'opposé d'un quaternion s'obtient en inversant les signes de ses composants.

Multiplication de Hamilton

Le produit de deux quaternions et , s'obtient en développant le produit formellement, puis en effectuant les réductions  i²=-1, j²=-1, k²=-1, i*j=k, j*k=i , Tous calculs faits, on obtient   Q*Q’=aa’-bb’-cc’-dd’+(ab’+ba’+cd’-dc’)i+(ac’+ca’+db’-bd’)j+(ad’+da’+bc’-cb’)k

       Q*Q’=

Dans cette dernière formule le \scriptstyle \cdot désigne le produit scalaire et le produit vectoriel des composantes vectorielles des deux quaternions. Il est possible de retrouver cette multiplication avec une notation plus simple des quaternions : au lieu de voir un quaternion comme un quadruplet de nombres réels, on peut le représenter comme une paire de nombres complexes.
Notant    et  \scriptstyle Z'_2 = c' + d' i,  alors   Q=Z1+Z2*j et  .

Q’=Z1’+Z2’*j.  avec j²=-1,    avec le complexe conjugué de Z.

La multiplication s'écrit alors :.

L'inverse d'un quaternion se calcule alors facilement :

On vérifie alors facilement que.. La multiplication n’est pas commutative car par exemple i*j=-j*i.

Conjugaison

Le conjugué du quaternion est le quaternion obtenu en conservant sa partie scalaire et en prenant l'opposé de sa partie vectorielle .

On remarquera que le conjugué d'un scalaire est lui-même et que le conjugué d'un vecteur pur est son opposé.

Les invariants, tels que , sont les réels et les anti-invariants, tels que \scriptstyle Q^* = -Q, sont les quaternions purs.

La conjugaison permet de retrouver facilement la partie réelle et vectorielle d'un quaternion :

Norme

Le produit d'un quaternion par son conjugué Q * donne  qui est un nombre réel positif.

On appelle norme du quaternion , le nombre réel positif.

Quaternions unitaires

Les quaternions unitaires sont, par définition, les quaternions Q de norme 1.Ils forment un espace topologique qu’on peut identifier à l'hypersphère S3.

On peut poursuivre plus loin la décomposition précédente. En effet, de , pour un quaternion unitaire , on tire l'existence d'un réel , tel que  et est un vecteur unitaire de R3.

Finalement, tout quaternion s'écrit sous la forme , où est un réel positif et est un vecteur de la sphère R3. Si Q est non réel, cette décomposition est unique, à près pour θ ; si Q est réel, le choix de est arbitraire.

Quaternion unitaire et rotation

Tout quaternion q de norme représente une rotation en l’écrivant de la manière suivante :

Q= w+*i+ y*j+z*k , avec w2 + x2 + y2 + z2 = 1. Le point de coordonnées (w, x, y, z) représente une rotation autour de l'axe dirigé par le vecteur  et d'angle

On peut écrire si l’angle α est dans ]-pi,pi[   .

L’angle α est l’angle de la rotation et le vecteur  est unitaire et dirige l’axe de rotation.

Pour passer de la matrice d’une rotation  Mij à son quaternion q (w,x,y,z) on peut utiliser le programme écrit en povray suivant :

#declare W=sqrt(M11+M22+M33+1)/2;

#if (W!=0)

#declare X=(M23-M32)/(4*W);

#declare Y=(M31-M13)/(4*W);

#declare Z=(M12-M21)/(4*W);

#else

        #declare X=sqrt(-0.5*(M22+M33));

        #if (X!=0)

        #declare Y=M12/(2*X);

        #declare Z=M13/(2*X);

                #else

                #declare Y=sqrt(0.5*(1-M33));

                        #if (Y!=0)

                        #declare Z=M23/(2*Y);

                        #else

                        #declare Z=1;

                        #end

       #end

#end 

 

 <W,X,Y,Z>;

Le programme renvoie w,x,y z qui sont les coordonnées de q.

Dans l’autre sens la matrice de la rotation correspondant au  quaternion

unitaire q= a + bi + cj + dk (avec |z| = 1) est donnée par

Les quaternions sont utilisés pour programmer les directions de caméra et les robots.




.





 

Le groupe  SO3 des rotations de R3

Une rotation d’angle a autour d’un axe dirigé par le vecteur normé  est représenté par le quaternion q=cos(a/2)+sin(a/2)*. La rotation nulle est q=1. Les deux rotations q1=cos(pi/2)+sin(pi/2)*   et q2=cos(-pi/2)+sin(-pi/2) doivent être identifiées car elles sont identiques. Les rotations d’angle 2pi, sans aucun problème, donnent 1. L’ensemble SO3  est dons la sphère S3 dans laquelle on a identifié les quaternions  antipodaux correspondant aux rotations  d’angles pi et –pi et d'axe .


Il en résulte une structure particulière de  SO3. Si on trace dans SO3 un lacet formé des rotations d’axe  et dont l’angle varie de 0 à 2pi , on ne peut pas le déformer de manière continue pour le réduire à la rotation nulle. En effet on n’a pas le droit en terme de continuité de réduire progressivement l’angle pour passer de 2pi à 0. Une telle procédure revient à couper le lacet, ce qui n’est pas continu au sens topologique.

Voici S3 avec un lacet dessiné en rouge. La rotation  identité est le point bleu.  Le lacet en rouge est  formé des rotations d'axe  Oz dont l'angle varie de 0 à 2*pi.

lacet de so3

Le fait que ce lacet n'est pas équivalente à un lacet nul se remarque physiquement quand on fait un tour à une ceinture. On a beau s’évertuer à faire passer le lacet autour de la boucle, si on garde les deux bouts de la ceinture fixes dans un plan, la ceinture reste torsadée.

Par contre un lacet formé de rotations dont l’angle varie de 0 à 4pi, c'est-à-dire 2 tours, peut être déformé continûment en la rotation nulle.

 

Ceci se voit aussi dans la célèbre manipulation de Dirac
Voici plus mathématiquement la suite continue de lacets joignant le lacet nul en un lacet formé de rotations dont l’angle varie de 0 à 4pi.

lacets homotopes
L' animation est tracée dans l'hypersphère sur laquelle, les pointys antipodaux sont identifiés. Ainsi pour un lacet donné quand l'angle de la rotation passe de 3.14 à 3.15 le point correspondant sur l'hypersphère passe à son antipode. Ici de A en A' et de B en B'. Il y a deux tours mais le chemin doit être vu comme continu. On a donc dans cette animation une suite de lacets qui joint le lacet nul à un lacet d'amplitude 4pi.

La matrice donnant la famille de lacets est M(t,m) :

#declare M11=1-4*t1+4*t1*cos(m)+2*t1*t1-4*t1*t1*cos(m)+2*t1*t1*cos(m)*cos(m);

 #declare M12=-2*t1*(1-t1)*sin(m)-2*t1*t1*sin(m)*cos(m);

 #declare M13=2*(-1+t1-t1*cos(m))*sqrt(2*t1*(1-t1)*(1-cos(m)));

 #declare M21=-M12;

 #declare M22=1-2*t1*t1+2*t1*t1*cos(m)*cos(m);

 #declare M23=-2*t1*sin(m)*sqrt(2*t1*(1-t1)*(1-cos(m)));

 #declare M31=-M13;

 #declare M32=M23;

 #declare M33=1-4*t1+4*t1*cos(m)+4*t1*t1-4*t1*t1*cos(m)

On a  pour tout t : M(0,t)=1=M(2pi,t) . Ce qui veut dire qu’on  a bien un chemin fermé allant de l à l, c'est à dire de la rotation nulle à elle même.   Pour t variant de 0 à 1  on a une famille de lacets joignant  le lacet réduit au point  unité l à la rotation d’axe k et d’angle 2m.

Représentation des rotations par une boule de R3

On peut aussi  représenter  un  quaternion unitaire q=cos(a/2)+sin(a/2) ( avec normé), par le vecteur sin(a/2) , sans perte d’information. Ainsi  le point M défini par représente q et aussi  la rotation d’axe et d’angle a appartenant à ]-pi,pi]. Le sinus de l’angle moitié de la rotation est la mesure algébrique de (OM) sur l’axe dirigé par .  L’ensemble des rotations forme donc la boule unité de R3 dans laquelle on identifie les points opposés de sa surface (= les points antipodaux). Le dessin suivant donne une idée de cette boule paramétrée par des cercles de Hopf.

cercles hopf serrés

La même sphère avec  des cercles de Hopf en moins.

cercles hopf dans r3.

Alors le lacet formé des rotations d’axe dont l’angle varie de –pi à pi est le segment  ]AB].

lacet 2pi

Un lacet formé, de rotations dont l’angle varie de 0 à 4pi est homotope à la rotation nulle.

Ceci se voit dans l'animation ci-dessous.

homotopie r3

Dans cette suite d’images le lacet nul grandit en augmentant l'angle de rotation maximal. Il va de l’angle nul à l’angle a , a  croissant jusqu'à 4* pi. Quand a atteint pi , le lacet se poursuit  sur point situé sur son antipode. C’est ce qui fait croire que le lacet est discontinu. Il n’en est rien car les points antipodaux sont identifiés.

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