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Anneaux

Anneaux

On offre à la mariée un anneau en or. Cet objet le solide obtenu en faisant tourner un cercle autour d'un axe situé dans son plan. Mathématiquement c'est un tore. En dimension 4 c'est le produit catésien de 2 cercles.

ring 3d
Anneau de mariée
x=(R+r*cos(u))*cos(v)
y=(R+r*cos(u))*sin(v)
z=r*sin(u)
tore 4d
Tore 4d
X=r*cos(u) ; Y=r*sin(u)
Z=R*cos(v) ; T=R*sin(v)

anneau fractals
Anneau fractal en dimension 3
sphères su tore
Anneau de sphères en dimension 4
hélice sur tore
Hélice sur tore
klucknikov
Anneau de Kluchnikov.

On peut faire un anneau avec 4 cubes entourant un cube central en dimension 4.

anneau de cubes
anneau de 4 cubes en dimension 4.
anneau de 4 cubes
 anneau de 4 cubes inscrits dans un tore.

 Anneau formé par les sommets de l'hypercube

Les 16 sommets de l'hypercube ont pour coordonnées (+/- 0.5 ; +/-0.5 ; +/- 0.5 ; +/- 0.5 ) . Ils sont situés sur l'hypersphèe S3, ensemble des points de l'espace de dimension 4 situés à une unité de l'origine O.

Ces points peuvent être écrits sous la forme 

image1

Ils se trouvent sur le tore d'équation z=exp(i*u) , t=exp(i*v).

Sur ce tore ces sommets peuvent être groupés sur 4 cercles de Hopf parallèles aux diagonales des cubes.

tore
Sommets de l'hypercube situés sur un tore
cube de hopf
Cercles de Hopf circonscrits aux sommets de l'hypercube.

Chaque cercle de Hopf correspond à un point du cercle tracé en bas à droite. Ce cercle constitue la carte de hopf. Sur la carte de Hopf , les 4 points fixes dessinés, définissent les cerclesde Hopf, Jaune,Vert, Magenta, pourpre, qui joignent  4 par 4 les sommets de l'hypercube.

hopf animation
Animation montrant les cercles de Hopf décrits par un point parcourant le cercle trigonométrique .
rotation de l'hypercube

Rotation autour du plan XOT
clifford
Rotation de Clifford
anneau de 16 cubes
Anneau de16 cubes en dimension 4

Anneau de 8 cubes

 Un octaèdre régulier  peut  être inscrit dans un  cercle. Soit  alors r ,la  rotation   d'angle pi/4=45° autour de l'axe axe de ce cercle.

Si on a un des côtés de l'octogone, on obtient les autres par rotations successives r,r²,r3 ..de ce côté. De la même façon on peut inscrire un anneau formé de 8 cubes dans un tore 4d.

Le premier cube a pour sommets a=(i,exp(i*pi/4)) ; b=(i, exp(i*i*2*pi/4) ) , c=(1 , exp(i*2*pi/4) ) , d=(1 , exp(i*pi/4))  ,a1=(-1,exp(i*pi/4)) ; b=(-1, exp(i*i*2*pi/4) ) , c1=(-i , exp(i*2*pi/4) ) , d1=(-i , exp(i*pi/4)) .

Par des rotations successives d'angles pi/4 par rapport au plan O,i,j , on obtient les autres cubes composant l'anneau.

L'écriture de cette rotation est :
 #macro rotoij(S,U2)
 X1=S.x;
Y1=S.y;
Z1=(S.z)*cos(U2)-(S.t)*sin(U2);
T1=(S.z)*sin(U2)+cos(U2)*(S.t);
<X1,Y1,Z1,T1>
#end

Elle transforme (S.x, S.y, S.z, S.t) en (X1,Y1,Z1,T1) .

développement de l'octogone
Développement du prisme octogonal en dimension 3
développement ring 8 cubes
Développement d'un anneau de 8 cubes en dimension 4
anneau de 8 cubes
Anneau de 8 cubes dans un tore en dimension 4
anneau de 8 cubes
Anneau de 8 cubes en dimension 4


Anneau de dodécaèdres

Dans notre espace à 3 dimensions, on peut couper un dodécaèdre suivant un hexagone comme l'indique la figure ci-dessous. Déplaçons alors le dodécaèdre parallèlement  à la section hexagonale, et faisons le tourner de 60°, 2 fois 60°,  3 fois 60° et ainsi de suite. On obtient un anneau de six dodécaèdres. Le dodécaèdre est vraiment un solide fascinant !
dodécaèdre coupé selon un hexagone
Dodécaèdre coupé selon un hexagone.
anneau de 6 dodécaèdres
Anneau de 6 dodécaèdres en 3d.
dodécaèdre tronqué
Plusieurs anneaux de pentagones dans ce dodécaèdre tronqué
anneaux de dodécaèdres tronqués
Anneaux de dodécaèdres tronqués
dodeca
Anneau de 6 dodécaèdres surmonté d'un demi dodécaèdre.
rhombe
Anneau de 6 dodécaèdre surmonté d'un dodécaèdre rhombique.

En dimension 4, l'hyperdodécaèdre est formé de 120 dodécaèdres réguliers, c'est pourquoi il est aussi appelé le 120 cellules. Comme pour le représenter il faut le projeter dans notre espace 3d, puis sur l'écran 2d de l'ordinateur les dodécaèdres sont applatis, déformés et se chevauchent. Ils forment 12 anneaus de 10 dodécaèdres . Dans R3, les pentagones du dodécaèdre pavent la sphère : ils se joignent par une arète et recouvrent la sphère unité.
Dans R4, les dodécaèdres pavent l'hypersphère : les dodécaèdres se touchent par une face et recouvrent l'hypersphère.
Pour décrire un anneau on part d'un dodécaèdre initial et on le fait tourner autour d'un plan orthogonal à l'anneau que l'on désire obtenir.
Pour écrire cette rotation des quaternions unitaires particuliers sont utilisés : les icosians.
Les icosians sont les quaternions unitaires ayant une des 3 écritures suivantes :
- 8 icosians de la forme (+/-1,0,0,0) et les permutations paires
-16 icosians de la forme (1/2*(+/-1,+/-1, +/-1, +/-1)
-96 icosians de la forme (1/2*(0 , +/-1, +/-1/phi , +/- phi ) et leurs permutations paires phi=(1+sqrt(5))/2=le nombre d'or.
Il y a donc 120 icisians qui sont les sommets de l'hypericosaèdre , ou encore les centres normés (=divisés par leur norme =1,01) des dodécaèdres formant l'hyperdodécaèdre.
Expliquons la formation du premier anneau de l'hyperdodécaèdre.
Partons d'un dodécaèdre et multiplions ses sommets par l'icosian tau1=1/2*(phi,-1,-1/phi,0), la multiplication est la multiplication à gauche. N'oublions pas en effet que la multiplication n'est pas commutative en dimension 4.
Explicitons l'écriture analytique de la multiplication à gauche de quaternion (a ,b,c,d) par le quaternion (a' , b' , c' ,d' ) :
Mulg( (a',b',c',d'), (a ,b,c,d))=(aa' -bb'-cc'-dd' ,ab'+ba'+cd'-dc' , ac'-bd'+ca'*db' , ad'+bc'-cb'+da' ))
Par cette multiplication qui est une rotation dans l'espace à 4 dimensions le dodécaèdre initial nommé 1 est tourné de 36°, et vient se coller contre lui même. C'est le début de l'anneau.
2 dodécaèdres de l'anneau
L'image en rouge par l'icosian tau1 du premier dodécaèdre
3 dodécaèdres de l'anneau
Les 3 premiers dodécaèdres de l'anneau

On recommence ensuite en faisant tourner par la multiplication à gauche par tau1 le dodécaèdre obtenu. Le nouveau dodécaèdre obtenu vient se coller au deuxième.
On poursuit ensuite le même schéma jusqu'à ce que tau1 élévé à la puisssance 10 donne l'identité, donc le dodécaèdre du départ.
4 dodécaèdres de l'anneau 5 dodécaèdres

6 dodécaèdres de l'anneau 7 dodecaèdres


8dodeca 9 dodécaèdres

Une fois le premier anneau terminé on transforme le dodécaèdre qui l'a généré en le multipliant par l'icosian : 1/2(phi,0,-1,1/phi).
Ensuite on transforme le dodécaèdre obtenu par les rotations successives par l'icosian 1/2(phi,0,1,1/phi )

anneau 0
Anneau numéro 1 et son cercle de Hopf du superdodécaèdre
anneau 1+2
Anneaux 1 et 2 avec leurs cercles de Hopf
anneau 2
Anneaux 1,2,3 avec leurs cercles de Hopf.
anneau3
Anneaux 1,2,3,4 avec leurs cercles de Hopf.



cercles de Hopf
Cercles joignant les centres des dodécaèdres  dans l'hyperdodécaèdre
icosians
Les centres des dodécaèdres du 120 cellules ou hyperdodécaèdre, groupés par 10 sur 12 cercles

L'anneau 3 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(1,-1,-1,1), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau3=1/2(phi,0,1,-1/phi).
L'anneau 4 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(0,-phi,-1/phi,1), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau4=1/2(phi , 1/phi,0,-1).
L'anneau 5 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(0,2,0,0), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau5=1/2(phi,-1 ,1/phi ,0).
L'anneau 6 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(phi,1,-1/phi,0), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau6=1/2(phi,,1/phi ,0,1).
L'anneau 7 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(1,1,-1,1), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau7=1/2(phi,-1 ,-1/phi ,0,1).
L'anneau 8 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(1,0,-1/phi, phi), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau8=1/2(phi,1,-1/phi,0).
L'anneau 9 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(0,-1/phi,-1, phi), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau9=1/2(phi,-1/phi,0, -1).
L'anneau 10 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(-1 ,0 , -1/phi ,phi ), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau10=1/2(phi,0,-1,-1/phi).
L'anneau 11 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(0 , phi , -1/phi ,1), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau11=1/2(phi,0,-1,1/phi).
L'anneau 12 s'obtient en faisant tourner le premier dodécaèdre de l'anneau 1 par l'icosian 1/2(0, 1/phi , -1 , phi ), puis par les rotations successives du dodécaèdre obtenu par tau12=1/2(phi, -1 , -1/phi , 0 ).

Donnons maintenant les faces et les coordonnées des sommets du dodécaèdre initial qui permet de générer tous les autres avec les rotations ci-dessus.
Ce dodécaèdreest formé de 12 pentagones. Les sommets des pentagones ont 4 coordonnées prises parmi les nombres suivants :
a=sqrt(2)/2=0.707 ;  b=a/2=0.354 ; c=sqrt(0.625)=0.791 ; d=0.25*phi/a=0.25*(sqrt(5)+1)/sqrt(2)=0.572 ;  e=0.25*(phi-1)/a =0.219  ; f=0.25*phi²/a=0.926 ; g=0.25*(phi-1)²/a=0.135 et 0.
Ces sommets se trouvent sur l'hypersphère S3, donc la somme des carrés de leurs 4 coordonnées vaut1.
face 1 :
<-d,-g,-d,d> ; <-d,g,-d,d> ; <-a,e,-b,d> ; <-c,0,-e,d> ; <-a,e,-b,d>
face 2 :
<-d,-g,-d,d> ; <-d,g,-d,d> ; <-b,e,-d,a> ;  <-e,0,-d,c> ; <-b,-e,-d,a>
face 3 :
<-d,-g,-d,d> ; <-a,-e,-b,d> ; <-d,-b,-e,a> ; <-b,-b,-b,c> ; <-b,-e,-d,a>
face 4 :
<-d,g,-d,d> ; <-d,e,-b,d> ; <-d,b,-e,a> ; <-b,b,-b,c> ; <-b,e,-d,a>
face 5
<-a,-e,-b,d> ; <-c,0,-e,d> ; <-a,0,0,a> ; <-d,-e,0,c> ; <-d,-b,-e,a>
face 6 :
<-a,e,-b,d> ; <c,0,-e,d> , <-a,0,0,a> ; <-d,e,0,c> ; <-d,b,-e,a>
face 7 :
<-b,-e,-d,a> ; <-e,0,-d,c> , <-g,0,-b,f> ; <-e,-e,-e,f> ; <-b,-b,-b,c>
face 8 :
<-b,e,-d,a> ; <-e,0,-d,c> ; <-g,0,-b,f> ; <-e,e,-e,f> ; <-b,b,-b,c>
face 9 :
<-d,-b,-e,a> ; <-b,-b,-b,c> ; <c,-e,-e,f> ;<-b,-g,0,f> ; <-d,-e,0,c>
face 10 :
<-d,b,-e,a> ; <-b,b,-b,c> ; <-e,e,-e,f> ; <-b,g,0,f> ; <-d,e,0,c>
face 11 :
<-a,0,0,a> ; <-d,-e,0,c> ; <-b,-g,0,f> ; <-b,g,0,f> ; <-d,e,0,c>
face 12 :
<-g,0,-b,f> ; <-e,-e,-e,f> ; <-b,-g,0,f> ; <-b,g,0,f> ; <-e,e,-e,f>
anneau de 10 cubes
Anneau de 10 cubes inscrits dans des dodécaèdres
anneau de 10 dodécaèdres tronqués
Anneau de 10 dodécaèdres 4d tronqués
2 anneaux
2 anneaux 4d de dodécaèdres tronqués
3 anneaux de dodécaèdres tronqués
3 anneaux 4d de dodécaèdres tronqués
4ring
4 anneaux de dodécaèdres tronqués
6 rings
Pavage de l'hypersphère avec des dodécaèdres tronqués

Octaèdre
anneau d'octaédres
anlmation

Anneau d'octaèdres

Octaèdre tronqué
pavage octaèdres
L'octaèdre tronqué pave l'espace
ring of dodecahedrons
Anneau de dodécaèdres tronqués

Dodécaèdre rhombique

rhombe
Le dodécaèdre rhombique pave l'espace R3.
anneau de rhombes
Anneau de dodécaèdres rhombiques

Géode

A partir d'un dodécaèdre par exemple, on trace le centres A1 de la  face 1. Puis la demi droite partant du centre  O de la sphère circonscrite  au dodécaèdre passant par A1 coupe cette sphère en B1. On joint B1 aux 5 sommets du dodécaèdre initial.
On obtient une calotte . En reitérant ce procédé on obtient 12 calottes qui constituent la géode construite sur le dodécaèdre. On peut avec 6 géodes former un anneau.

anneau de géodes
6 géodes en anneau
12 géodes en anneau
12 géodes en anneau


Icosaèdre
A partir d'un dodécaèdre, on trace les centres de ses faces pentagonales. En joignant les points voisins obtenus  on obtient un icosaèdre. Les faces sont alors des triangles. On dit que l'icosaèdre est le dual du dodécaèdre.
Anneau en 3d d'icosaèdres
ring
Anneau 3d de 10 icosaèdres
animation
Anneau 3d de 10 icosaèdres en rotation

 En utilisant les icosians comme pour le dodécaèdre, on peut former des anneaux d'icosaèdres.

anneau de 10 icosaèdres
10 icosaèdres formant un anneau dans S3.
2 anneaux
2 anneaux d'icosaèdres dans S3.
3 anneaux
3 anneaux d'icosaèdres dans S3.
4 anneaux
4 anneaux d'icosaèdres dans S3.
12 anneaux
12 anneaux d'icosaèdres
rotation 4d
Rotation 4d des 12 anneaux

Ballons de foot en dimension 4
En tronquant un icosaèdre, on obtient un ballon de foot. On peut tapisser l'hypersphère S3 avec ces ballons de foot. En faisant tourner l'hypersphère, les ballons se déplacent dans la projection 3d de l'hypersphère.
anneau de foot
Ballons de foot en anneau
animation 4d
Ballons de foot tapissant l'hypersphère.

Tétraèdres
Traçons un tore sur l'hypersphère S3. Son équation est : X=cos(u) , Y=sin(u) , Z=1/5*cos(v) , T=1/5*sin(v) ; Soit f(u,v)= (X,Y,Z,T)*sqrt(26)/5. Inscrivons sur ce tore une hélice qui tourne 30 fois : g(u)=f( u , 30*u). Inscrivons sur cette hélice un premier tétraèdre assez régulier : a0=g(0), a1=g(theta), a2=g(2*theta), a3=g(3*theta) , theta=2*pi/60. Le premier tétraèdre est T0, il est formé des 6 côtés a0,a1, a0,a2, a0a3,a1a2,a1a3, a2a3. Le deuxième tétraèdre est son image par la rotation de Clifford suivante :
rot(X,Y,Z,T)=(X*cos(theta)+y*sin(theta), -X*sin(theta)+Y*cos(theta), Z*cos(alpha)+T*sin(alpha) , -Z*sin(alpha)+T*cos(alpha) ) , avec alpha=30*theta. Il sagit de la rotation autour du plan  XOY de l'angle theta et de la rotation autour du plan ZOT den l'angle alpha. T1=rot(T0). On poursuit T2=rot(T1) etc... Pour avoir le dessin dans notre espace à 3 dimensions on projette le tout par la stéréographie suivante :
proj(X,Y,Z,T)=(X,Y,Z)/(1-T).
anneau de tetraedres
Anneau de tétraèdres en dimension 4.
construction de l'hélice
Construction de l'anneau
ring
16 tétraèdres réguliers en anneau (4d)
tétraèdres dans tore
Les 16 tétraèdres inscrits dans un tore 4d.



Téléchargez si vous le désirez le programme povray correspondant.

Programme povray correspondant aux deux dessins ci-dessus.