IntroductionMerveilles / Géométrie en 4D / Surfaces minimales / Quaternions  / Fractal  / Ensembles paradoxaux /Fibrations/ Fonctions complexes/ Géométrie hyperbolique /Les abeilles/   le nombre d'or Compte-gouttes    /     Rings   / Galerie / Me contacter

Surfaces minimales

Dans votre enfance, vous vous êtes sans doute amusé à souffler sur un anneau trempé dans une solution savonneuse et observé avec émerveillement les bulles de savon s'envolant dans les airs. Les bulles sont sphériques, elles ont une surface minimale pour un volumedonné. Prenez un fil de fer et tordez-le pour en faire un contour fermé. Plongez-le dans de l'eau savonneuse et vous obtiendrez un film de savon qui s'appuie sur le fil. L'élasticité du film de savon l'oblige à prendre une forme dontn l'aire soit la plus petite possible. C'est une surface minimale. La bulle essaie de réduireau minimum la tension superficielle de la pellicule de savon.
CaténoÏde
En utilisant un fil de fer formé de deux cercles coaxiaux vous obtiendrez après les avoir plongés dans la solution savonneuse un caténoïde.
catenoide
X=a*cosh(u)*cos(v) ; Y=a*cosh(u)*sin(v) ; Z=u*a;
Cette surface s'obtient aussi en faisant tourner une courbe bien connue, la chaînette, autour d'un axe. La chaînette est la courbe que fait une corde pendue entre deux piquets.
Chainette
X=2*u ; Y=-a*cosh(u/a);
Cliquez pour avoir le programme povray.
Hélicoïde
L'hélicoïde est obtenu en plongeant une double hélice dans de l'eau savonneuse. C'est le mathématicien Leonard Euler qui a découvert cette surface en 1744.
helicoide
X=u*cos(v) ; Y=u*sin(v) ; Z=v ;
Cliquez pour obtenir le programme povray.
Surfaces d'Enneper
Ces surfaces furent étudiées par le mathématicien allemand Alfred Enneper en 1863. Plongez la couture d'une balle de tennis dans de l'eau savonneuse pour obtenir la première surface.
2enneper balle
X=v*cos(u)-pow(u,9)*cos(9*u)/9;
Y=r*sin(u)+pow(v,9)*sin(9*i)/9;
Z=2*pow(v,5)*cos(5*u)/5;

Cliquez pour avoir le programme povray.
En changeant dans les équations paramétriques de cette surface la valeur de n on obtient les surfaces ci-dessous .
3enneper 4enneper 5enneper

Surface de Scherk et Gyroïde.
Scherk
Scherk
Gyroïde
Gyroïde
Scherk : X=V , Y= log(cos(a*U)/cos(a*V))/a , Z=-U      Gyroïde : cos(x)*sin(y)+cos(y)*sin(z)+cos(z)*sin(x)=0
Ci-dessous un autre genre à ma façon.
gyro
Surfaces minimales obtenues avec l'astroïde et le deltoïde
astroïde deltoide
Astroïde  : X=3*cos(u)*cosh(v)+cos(3*u)*cosh(3*v) ; Y=2*sin(u)*cosh(v)-sin(3*u)*cosh(3*v);  Z=3*sin(2*u)*sinh(2*v);
Deltoïde : X=2*cos(u)*cosh(v)+cos(2*u)*cosh(2*v) ; Y=2*sin(u)*cosh(v)-sin(2*u)*cosh(2*v) ; Z=2/3*sin(1.5*u)*sinh(1.5*v);
Surfaces minimales à une spirale et à une courbe de poursuite
spirale courbe pousuite

Spirale : X=exp(u/5)*(cos(v/5)cos(u)cosh(v)+sin(v/5)sin(u)sinh(v)) ; Y=exp(u/5)*(cos(v/5)sin(u)cosh(v)+sin(v/5)cos(u)sinh(v)) ; Z=exp(u/5)*sin(sin(v/5)*sqrt(1+1/25)*5 ;
Courbe pousuite :  X=2*u-exp(2*u)*cos(2*v) ; Y=2*u-exp(2*u)-sin(2*v) ; Z= 4*exp(u)*cos(v) .  

Retour